Sejam S: V W e T: U V transformações lineares.
a) Prove que, se S circ T é injetora, então T também é injetora.

Passo 1

Então, temos duas transformações lineares: e . A questão quer que a gente prove que, se a composição é injetora, então também deve ser injetora. Vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como a composição de funções funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação injetora. Uma função (ou transformação linear) é injetora se cada elemento de mapeia para um elemento único em . Ou seja, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos pensar na composição (S circ T)(u) = S(T(u)) . Isso significa que aplicamos primeiro e depois no resultado. Ou seja, para qualquer , temos:
Queremos mostrar que se essa composição é injetora, então também deve ser injetora.

Passo 4

Suponha que é injetora. Vamos mostrar que é injetora. Para isso, pegamos dois elementos tais que e queremos provar que .

Passo 5

Se S(T(u1)) = S(T(u2)) , então aplicando (S circ T)(u1) = (S circ T)(u2) em ambos os lados, temos:
O que significa:

Passo 6

Como é injetora, pelo definição isso implica que . Portanto, mostramos que se , então necessariamente , o que prova que é injetora.

Resposta

Portanto, se é injetora, então também é injetora.

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