Sejam
e
transformações lineares.
a) Prove que, se
é injetora, então
também é injetora.
a) Prove que, se
Passo 1
Então, temos duas transformações lineares:
e
. A questão quer que a gente prove que, se a composição
é injetora, então
também deve ser injetora. Vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como a composição de funções funciona nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação injetora. Uma função (ou transformação linear)
é injetora se cada elemento de
mapeia para um elemento único em
. Ou seja, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na composição
. Isso significa que aplicamos primeiro
e depois
no resultado. Ou seja, para qualquer
, temos:
Queremos mostrar que se essa composição é injetora, então
também deve ser injetora.
Passo 4
Suponha que
é injetora. Vamos mostrar que
é injetora. Para isso, pegamos dois elementos
tais que
e queremos provar que
.
Passo 5
Se
, então aplicando
em ambos os lados, temos:
O que significa:
Passo 6
Como
é injetora, pelo definição isso implica que
. Portanto, mostramos que se
, então necessariamente
, o que prova que
é injetora.
Resposta
Portanto, se
é injetora, então
também é injetora.