Sejam e transformações lineares.
a) Prove que, se é injetora, então também é injetora.

Passo 1

Então, temos duas transformações lineares: e . A questão quer que a gente prove que, se a composição é injetora, então também deve ser injetora. Vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como a composição de funções funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação injetora. Uma função (ou transformação linear) é injetora se cada elemento de mapeia para um elemento único em . Ou seja, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos pensar na composição . Isso significa que aplicamos primeiro e depois no resultado. Ou seja, para qualquer , temos:
Queremos mostrar que se essa composição é injetora, então também deve ser injetora.

Passo 4

Suponha que é injetora. Vamos mostrar que é injetora. Para isso, pegamos dois elementos tais que e queremos provar que .

Passo 5

Se , então aplicando em ambos os lados, temos:
O que significa:

Passo 6

Como é injetora, pelo definição isso implica que . Portanto, mostramos que se , então necessariamente , o que prova que é injetora.

Resposta

Portanto, se é injetora, então também é injetora.

Exercícios relacionados

Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(d) .
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(d) os focos e .
Considere os seguintes subespaços de :
(a) ,
(b) .
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços .