Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(d) os focos
e
.
(d) os focos
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que escrever a equação reduzida de uma hipérbole. Os dados que recebemos são os dois focos:
e
, e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como centro da hipérbole, distância entre os focos e a relação entre
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio, calculamos as médias das coordenadas x e y dos focos.
Então, o centro é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Então,
, ou seja,
.
Passo 4
Sabemos que em uma hipérbole válida, a relação entre
,
e
é:
Já temos
e
, então substituindo:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a orientação da hipérbole. Se a hipérbole abre horizontalmente, a equação reduzida é:
Se abre verticalmente, a equação é:
Para saber a orientação, observamos os focos. Como eles têm diferentes coordenadas x e y, mas a hipérbole mais comum com foci deslocados em ambas direções, vamos supor que abre horizontalmente.
Passo 6
Agora, substituímos os valores na equação da hipérbole horizontal, onde
,
e
:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: