Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(d) os focos e .

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que escrever a equação reduzida de uma hipérbole. Os dados que recebemos são os dois focos: e , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como centro da hipérbole, distância entre os focos e a relação entre , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio, calculamos as médias das coordenadas x e y dos focos.
Então, o centro é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Então, , ou seja, .

Passo 4

Sabemos que em uma hipérbole válida, a relação entre , e é:
Já temos e , então substituindo:

Passo 5

Agora, precisamos determinar a orientação da hipérbole. Se a hipérbole abre horizontalmente, a equação reduzida é:
Se abre verticalmente, a equação é:
Para saber a orientação, observamos os focos. Como eles têm diferentes coordenadas x e y, mas a hipérbole mais comum com foci deslocados em ambas direções, vamos supor que abre horizontalmente.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação da hipérbole horizontal, onde , e :

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:

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Sejam e transformações lineares.
a) Prove que, se é injetora, então também é injetora.
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Considere os seguintes subespaços de :
(a) ,
(b) .
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços .
Sejam e transformações lineares.
b) Prove que, se é sobrejetora, então também é sobrejetora.