Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(d) os focos (3,4),(-1,-2) e a=1.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que escrever a equação reduzida de uma hipérbole. Os dados que recebemos são os dois focos: (3,4) e (-1,-2), e a = 1. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como centro da hipérbole, distância entre os focos e a relação entre a, b e c.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio, calculamos as médias das coordenadas x e y dos focos.
Centro ( 3 + (-1)2, 4 + (-2)2 ) = ( 22, 22 ) = (1, 1)
Então, o centro é (1, 1).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é 2c. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = raiz(-1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2 = raiz(-4)^2 + (-6)^2 = raiz16 + 36 = raiz52 = 2raiz13
Então, 2c = 2raiz13, ou seja, c = raiz13.

Passo 4

Sabemos que em uma hipérbole válida, a relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 + b^2
Já temos a = 1 e c = raiz13, então substituindo:
(raiz13)^2 = 1^2 + b^2 13 = 1 + b^2 b^2 = 12 b = raiz12 = 2raiz3

Passo 5

Agora, precisamos determinar a orientação da hipérbole. Se a hipérbole abre horizontalmente, a equação reduzida é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Se abre verticalmente, a equação é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Para saber a orientação, observamos os focos. Como eles têm diferentes coordenadas x e y, mas a hipérbole mais comum com foci deslocados em ambas direções, vamos supor que abre horizontalmente.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação da hipérbole horizontal, onde (h, k) = (1, 1), a = 1 e b = 2raiz3:
(x - 1)^21^2 - (y - 1)^2(2raiz3)^2 = 1 (x - 1)^21 - (y - 1)^212 = 1

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
(x - 1)^21 - (y - 1)^212 = 1

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