Sejam e transformações lineares. b) Prove que, se é sobrejetora, então também é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se a composição de duas transformações lineares é sobrejetora, então a transformação também é sobrejetora. Estamos lidando com **transformações lineares** aqui, que são funções entre espaços vetoriais que preservam as operações de vetor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser **sobrejetora**, ou seja, que ela "cobre" todo o espaço de chegada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se, para todo vetor no espaço , existe pelo menos um vetor no espaço tal que . Isso significa que não sobra nenhum "espaço vazio" em ; tudo em é alcançado por algum vetor de através de .

Passo 3

Agora, sabemos que é sobrejetora. A composição significa que primeiro aplicamos a transformação e depois aplicamos no resultado. Formalmente, para qualquer vetor em , temos: Como é sobrejetora, para todo em , existe um em tal que:

Passo 4

Vamos focar no que isso significa para . A equação nos diz que é a imagem através de de algum vetor em . Ou seja, para cada em , existe um vetor em tal que .

Passo 5

Esse fato é exatamente o que define como sendo sobrejetora. Para cada em , encontramos um em (especificamente, ) que satisfaz . Portanto, não há nenhum vetor em que fique de fora da imagem de .

Resposta

Assim, provamos que se é sobrejetora, então também é sobrejetora.

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