Sejam
e
transformações lineares.
b) Prove que, se
é sobrejetora, então
também é sobrejetora.
b) Prove que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se a composição de duas transformações lineares
é sobrejetora, então a transformação
também é sobrejetora. Estamos lidando com transformações lineares aqui, que são funções entre espaços vetoriais que preservam as operações de vetor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora, ou seja, que ela “cobre” todo o espaço de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se, para todo vetor
no espaço
, existe pelo menos um vetor
no espaço
tal que
. Isso significa que não sobra nenhum “espaço vazio” em
; tudo em
é alcançado por algum vetor de
através de
.
Passo 3
Agora, sabemos que
é sobrejetora. A composição
significa que primeiro aplicamos a transformação
e depois aplicamos
no resultado. Formalmente, para qualquer vetor
em
, temos:
Como
é sobrejetora, para todo
em
, existe um
em
tal que:
Passo 4
Vamos focar no que isso significa para
. A equação
nos diz que
é a imagem através de
de algum vetor
em
. Ou seja, para cada
em
, existe um vetor
em
tal que
.
Passo 5
Esse fato é exatamente o que define
como sendo sobrejetora. Para cada
em
, encontramos um
em
(especificamente,
) que satisfaz
. Portanto, não há nenhum vetor em
que fique de fora da imagem de
.
Resposta
Assim, provamos que se
é sobrejetora, então
também é sobrejetora.