Sejam e transformações lineares.
b) Prove que, se é sobrejetora, então também é sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se a composição de duas transformações lineares é sobrejetora, então a transformação também é sobrejetora. Estamos lidando com **transformações lineares** aqui, que são funções entre espaços vetoriais que preservam as operações de vetor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser **sobrejetora**, ou seja, que ela "cobre" todo o espaço de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se, para todo vetor no espaço , existe pelo menos um vetor no espaço tal que . Isso significa que não sobra nenhum "espaço vazio" em ; tudo em é alcançado por algum vetor de através de .
Passo 3
Agora, sabemos que é sobrejetora. A composição significa que primeiro aplicamos a transformação e depois aplicamos no resultado. Formalmente, para qualquer vetor em , temos:
Como é sobrejetora, para todo em , existe um em tal que:
Passo 4
Vamos focar no que isso significa para . A equação nos diz que é a imagem através de de algum vetor em . Ou seja, para cada em , existe um vetor em tal que .
Passo 5
Esse fato é exatamente o que define como sendo sobrejetora. Para cada em , encontramos um em (especificamente, ) que satisfaz . Portanto, não há nenhum vetor em que fique de fora da imagem de .
Resposta
Assim, provamos que se é sobrejetora, então também é sobrejetora.