Considere uma semicircunferência de raio R, feita de material isolante com densidade linear de carga lambda, colocada no plano y z e centro na origem, conforme figura ao lado. Calcule o campo elétrico gerado pela semicircunferência no ponto P sobre o eixo ox e a uma distância d da origem. (Resp E=lambda4 pi epsilono 1[R^2+d^2]^3 / 2(pi R d ; 0 ; 2 R^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma semicircunferência de raio $ R $ no plano $ yz $, com densidade linear de carga $ \lambda $. Queremos descobrir qual é o campo elétrico gerado por essa semicircunferência no ponto $ P $ que está sobre o eixo $ ox $ e a uma distância $ d $ da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
E = 14piepsilon0 cdot qr^2 cdot r
Onde:
  • $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ q $ é a carga,
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo,
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.

Passo 3

Como temos uma distribuição contínua de carga, precisamos considerar um elemento infinitesimal de carga $ dq $ na semicircunferência. A densidade linear de carga $ \lambda $ nos diz que:
dq
Onde $ ds $ é um elemento de comprimento na semicircunferência. Para parametrizar a semicircunferência, vamos usar o ângulo $ \theta $, variando de $ 0 $ a $ \pi $:
lambda
Então:
dq = lambda , ds

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor posição de cada elemento de carga $ dq $ em relação ao ponto $ P $. O ponto $ P $ está a uma distância $ d $ ao longo do eixo $ ox $. As coordenadas de um ponto na semicircunferência são $ (0, R\cos\theta, R\sin\theta) $.
A distância entre $ dq $ e $ P $ é:
dq

Passo 5

O vetor campo elétrico $ d\mathbf{E} $ devido ao elemento $ dq $ no ponto $ P $ é:
dE
Como $ r $ é constante para todos os elementos $ dq $, podemos simplificar:
dq

Passo 6

Vamos decompor $ \hat{r} $ nas componentes $ x $, $ y $ e $ z $. Sabendo que:
r
Então, o campo elétrico fica:
x

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total $ \mathbf{E} $, integramos $ d\mathbf{E} $ de $ \theta = 0 $ a $ \theta = \pi $:
E

Passo 8

Vamos calcular cada uma das integrais:
integral0^pi dtheta = pi
integral0^pi -Rcostheta , dtheta = -R [ sintheta ]0^pi = 0
integral0^pi -Rsintheta , dtheta = -R [ -costheta ]0^pi = -R ( -cospi + cos0 ) = -R (1 + 1) = -2R

Passo 9

Substituindo os resultados das integrais na expressão do campo elétrico:
E = lambda R4piepsilon0 (R^2 + d^2)^3/2 (pi d, 0, -2R)

Resposta

Portanto, o campo elétrico no ponto $ P $ é:
P

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