Considere uma semicircunferência de raio
, feita de material isolante com densidade linear de carga
, colocada no plano
e centro na origem, conforme figura ao lado. Calcule o campo elétrico gerado pela semicircunferência no ponto P sobre o eixo ox e a uma distância
da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma semicircunferência de raio $ R $ no plano $ yz $, com densidade linear de carga $ \lambda $. Queremos descobrir qual é o campo elétrico gerado por essa semicircunferência no ponto $ P $ que está sobre o eixo $ ox $ e a uma distância $ d $ da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
Onde:
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ q $ é a carga,
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 3
Como temos uma distribuição contínua de carga, precisamos considerar um elemento infinitesimal de carga $ dq $ na semicircunferência. A densidade linear de carga $ \lambda $ nos diz que:
Onde $ ds $ é um elemento de comprimento na semicircunferência. Para parametrizar a semicircunferência, vamos usar o ângulo $ \theta $, variando de $ 0 $ a $ \pi $:
Então:
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor posição de cada elemento de carga $ dq $ em relação ao ponto $ P $. O ponto $ P $ está a uma distância $ d $ ao longo do eixo $ ox $. As coordenadas de um ponto na semicircunferência são $ (0, R\cos\theta, R\sin\theta) $.
A distância entre $ dq $ e $ P $ é:
Passo 5
O vetor campo elétrico $ d\mathbf{E} $ devido ao elemento $ dq $ no ponto $ P $ é:
Como $ r $ é constante para todos os elementos $ dq $, podemos simplificar:
Passo 6
Vamos decompor $ \hat{r} $ nas componentes $ x $, $ y $ e $ z $. Sabendo que:
Então, o campo elétrico fica:
Passo 7
Para encontrar o campo elétrico total $ \mathbf{E} $, integramos $ d\mathbf{E} $ de $ \theta = 0 $ a $ \theta = \pi $:
Passo 8
Vamos calcular cada uma das integrais:
Passo 9
Substituindo os resultados das integrais na expressão do campo elétrico:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no ponto $ P $ é: