Considere a sequência an cujo termo geral é an=1n sumk=1^infty 11+kn. Mostre que lim n infty an= ln (2). (Sugestão: Interprete an como uma soma de Riemann de uma integral definida.)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência an = 1n sumk=1^infty 11 + kn definida por:
O objetivo é mostrar que, quando cresce para o infinito, o limite de é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de Riemann, que relaciona somas discretas com integrais contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar o enunciado porque a soma até infinito pode não convergir de forma útil para este problema. Geralmente, em problemas desse tipo, a soma vai de an = 1n sumk=1^n 11 + kn até . Assim, a expressão fica:
Isso faz mais sentido, pois agora estamos lidando com uma soma finita que se aproxima de uma integral quando é grande.

Passo 3

Agora, vamos interpretar essa soma como uma soma de Riemann. A soma de Riemann aproxima o valor de uma integral definida dividindo o intervalo em pequenas partes. Nesse caso, temos:
1n sumk=1^n f(kn)
onde e é a largura de cada subintervalo ( ).

Passo 4

Conforme limn to infty an = integral0^1 11 + x , dx tende ao infinito, a soma de Riemann se aproxima da integral definida de no intervalo de 0 a 1:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral0^1 11 + x , dx = [ ln|1 + x| ]0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2)

Resposta

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