Considere a sequência
cujo termo geral é
. Mostre que
. (Sugestão: Interprete
como uma soma de Riemann de uma integral definida.)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
definida por:
O objetivo é mostrar que, quando
cresce para o infinito, o limite de
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de Riemann, que relaciona somas discretas com integrais contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar o enunciado porque a soma até infinito pode não convergir de forma útil para este problema. Geralmente, em problemas desse tipo, a soma vai de
até
. Assim, a expressão fica:
Isso faz mais sentido, pois agora estamos lidando com uma soma finita que se aproxima de uma integral quando
é grande.
Passo 3
Agora, vamos interpretar essa soma como uma soma de Riemann. A soma de Riemann aproxima o valor de uma integral definida dividindo o intervalo em pequenas partes. Nesse caso, temos:
onde
e
é a largura de cada subintervalo (
).
Passo 4
Conforme
tende ao infinito, a soma de Riemann se aproxima da integral definida de
no intervalo de 0 a 1:
Passo 5
Vamos calcular essa integral: