Em cada item, determine, se houver, e classifique, se for possível, os pontos críticos de
.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar os pontos críticos dela. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
(
) é:
A derivada parcial de
em relação a
(
) é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde
e
.
Primeiro, resolvemos
:
Isso nos dá duas soluções:
Para cada valor de
, encontramos
usando
.
Para
:
Aqui,
pode ser qualquer valor. Porém, precisamos que
, o que para
é sempre verdadeiro. Portanto, todos os pontos da forma
são críticos.
Para
:
Então, temos o ponto crítico
.
Passo 4
Agora, vamos classificar os pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Para os pontos
:
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Portanto, não podemos classificar esses pontos usando esse método.
Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui pontos críticos em toda reta
com qualquer valor de
(não classificados pelo teste da segunda derivada) e um ponto crítico em
, que é um ponto de sela.