Em cada item, determine, se houver, e classifique, se for possível, os pontos críticos de f.
f(x, y) = x^4 * y + x^3 * y - 7 * x^2 - 4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar os pontos críticos dela. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a ( ) é:
A derivada parcial de em relação a ( ) é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde e .
Primeiro, resolvemos :
Isso nos dá duas soluções:
Para cada valor de , encontramos usando .
Para :
Aqui, pode ser qualquer valor. Porém, precisamos que , o que para é sempre verdadeiro. Portanto, todos os pontos da forma são críticos.
Para :
Então, temos o ponto crítico .

Passo 4

Agora, vamos classificar os pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Para os pontos :
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Portanto, não podemos classificar esses pontos usando esse método.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui pontos críticos em toda reta com qualquer valor de (não classificados pelo teste da segunda derivada) e um ponto crítico em , que é um ponto de sela.

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