Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências: a_n = (1.3 * 5 * ... * (2n - 1)) / (2 * 4 * 6 * ... * (2n))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência converge ou diverge. Estamos lidando com sequências numéricas e precisamos entender o comportamento dela conforme cresce. Para resolver isso, vamos analisar o limite dessa sequência quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sequência está fazendo. No numerador, temos o produto dos números ímpares até e, no denominador, o produto dos números pares até . Podemos reescrever isso de uma forma mais simples usando fatorial.
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, para encontrar o limite dessa expressão quando tende ao infinito, podemos usar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial para números grandes:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Agora, vemos que quando tende ao infinito, tende a zero.

Resposta

A sequência converge para 0.

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