Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. Estamos lidando com sequências numéricas e precisamos entender o comportamento dela conforme
cresce. Para resolver isso, vamos analisar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a sequência está fazendo. No numerador, temos o produto dos números ímpares até
e, no denominador, o produto dos números pares até
. Podemos reescrever isso de uma forma mais simples usando fatorial.
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, para encontrar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito, podemos usar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial para números grandes:
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, vemos que quando
tende ao infinito,
tende a zero.
Resposta
A sequência
converge para 0.