Determine se a série sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot(3 n-2) é convergente ou divergente.
Observação: Esta questão vale 1,0 ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar usar o Teste da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge examinando o limite da razão entre termos consecutivos da série. Ou seja, calculamos .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Primeiro, identificamos .

Passo 4

Agora, calculamos an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2(n+1)-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot (3(n+1)-2) = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n+1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot (3n+1) :

Passo 5

Agora, vamos formar a razão an+1an = (2n+1)(3n+1) :

Passo 6

Calculamos o limite dessa razão quando L = limn to infty 2n+13n+1 = 23 tende ao infinito:

Passo 7

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados