Seja an a sequência definida por
a1=1 e an+1=raiz1+2 an, forall n in N
Prove que:
(a) an é convergente.
(b) Calcule lim n +infty an
Observação: Esta questão vale 1.0 ponto ( 0.5 ponto cada item). Sugestāo: Para provar o item (a) mostre que an é uma sequência crescente e limitada superiormente (prove, por indução, que an é limitada superiormente pelo número 3 ).

Passo 1

Então, temos uma sequência definida por e para todo natural. O objetivo aqui é mostrar duas coisas: primeiro, que essa sequência converge (ou seja, ela se aproxima de um número específico à medida que cresce), e segundo, descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências crescentes e limitadas, além de usar um pouco de indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior. Vamos verificar isso passo a passo.

Passo 3

Começamos com . Agora, vamos ver . Claramente, .

Passo 4

Assumindo que an+1 = raiz1 + 2an para algum 1 + 2an >= 1 + 2an-1 , vamos mostrar que an+1 >= an . Temos:
Como , então , e acrescentando 1 a ambos:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados (já que a função raiz é crescente):
Assim, por indução, mostramos que a sequência é crescente.

Passo 5

Agora, precisamos provar que a sequência é limitada superiormente, ou seja, existe um número que nunca é ultrapassado pela sequência. Vamos mostrar que para todo .

Passo 6

Para an+1 = raiz1 + 2an <= raiz1 + 2 times 3 = raiz7 approx 2,6458 < 3 , temos . Suponha que para algum . Então:
Portanto, por indução, a sequência está sempre abaixo de 3.

Passo 7

Sabemos que toda sequência que é crescente e limitada superiormente converge. Portanto, é convergente.

Passo 8

Vamos agora calcular o limite da sequência. Vamos chamar o limite de L = raiz1 + 2L . Como a sequência converge, temos:
L^2 = 1 + 2L
Elevando ambos os lados ao quadrado:
L^2 - 2L - 1 = 0
Rearranjando:
L = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 1 pm raiz2
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
L = 1 + raiz2
Como a sequência é positiva, descartamos a solução negativa. Assim:

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados