Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty (-1)^n 4 n^2-3 nraizn^4+2 n+1

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos verificar se a série
sumn=1^+infty (-1)^n (4n^2-3n)raizn^4+2n+1
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
sumn=1^+infty | (-1)^n (4n^2-3n)raizn^4+2n+1 | = sumn=1^+infty 4n^2-3nraizn^4+2n+1

Passo 3

Simplificamos a expressão dentro da série:
4n^2-3nraizn^4+2n+1 = 4n^2-3nn^2raiz1+2n+1n^4 approx 4n^2n^2 = 4
À medida que tende ao infinito, o termo se aproxima de uma constante diferente de zero.

Passo 4

Aplicamos o Teste da Divergência: se o limite dos termos da série não é zero, a série diverge.
limn to infty 4n^2-3nraizn^4+2n+1 = 4 neq 0
Portanto, a série dos valores absolutos diverge, ou seja, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, verificamos a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Precisamos verificar dois pontos:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. .
Já vimos que , então o teste falha.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge e a série alternada não satisfaz as condições para convergência condicional, concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série
sumn=1^+infty (-1)^n (4n^2-3n)raizn^4+2n+1
diverge.

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