Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Isso faz parte do conteúdo de limites de funções racionais, onde a função é um quociente de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau no numerador e denominador influenciam o limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Quando tende ao infinito, os termos com menor grau se tornam insignificantes em comparação com os de maior grau.

Passo 3

Para facilitar, vamos fatorar tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 4

Agora, cancelamos no numerador e no denominador:

Passo 5

Com tendendo ao infinito, os termos , e tendem a zero. Assim, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a .

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Prove que (ou seja, utilize a definição formal de limite, com e ).
Considere a série para resolver os itens abaixo.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever