Problema de Fluxo Máximo de Transporte com Rotas Limitadas
Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme tabela abaixo:
Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme tabela abaixo:
PORTO | QTD
|
---|---|
Paranaguá | 120 |
Santos | 100 |
Rio de Janeiro | 100 |
Vitória | 100 |
Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas quantidades, como mostra a tabela abaixo:
PORTO | QTD
|
---|---|
Nova York | 100 |
Hamburgo | 80 |
Le Havre | 90 |
Bordeaux | 150 |
Como informação adicional, sabe-se que as demandas de Hamburgo e Bordeaux devem ser plenamente atendidas.
No próximo mês, as partidas de navios dos diversos portos brasileiros para os portos de destino são indicadas na tabela abaixo, assim como a capacidade de carga ainda disponível em cada navio. A quantidade zero indica que não há navio ou, mesmo havendo, não há capacidade livre para transportar café.
No próximo mês, as partidas de navios dos diversos portos brasileiros para os portos de destino são indicadas na tabela abaixo, assim como a capacidade de carga ainda disponível em cada navio. A quantidade zero indica que não há navio ou, mesmo havendo, não há capacidade livre para transportar café.
Destino | Nova York | Hamburgo | Le Havre | Bordeaux |
---|---|---|---|---|
Paranaguá | 70 | 30 | 20 | 0 |
Santos | 50 | 40 | 10 | 0 |
Rio de Janeiro | 0 | 20 | 40 | 80 |
Vitória | 0 | 20 | 40 | 80 |
Dadas essas informações, o objetivo da companhia é determinar quanto deverá despachar em cada navio, de modo a satisfazer suas demandas ao máximo. Construa o modelo de Programação Linear que otimize este problema.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma empresa que exporta café de quatro portos no Brasil para quatro armazéns no exterior. Cada porto tem uma quantidade limitada de café para enviar, e cada destino tem uma demanda específica que precisa ser atendida. Além disso, cada rota entre porto e destino tem uma capacidade máxima de carga disponível nos navios. Nosso objetivo aqui é criar um modelo de Programação Linear que ajude a determinar quanto café deve ser enviado por cada rota para maximizar o atendimento das demandas, respeitando as capacidades dos navios e os estoques disponíveis nos portos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e modelagem matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Essas variáveis representarão a quantidade de café transportada de cada porto para cada destino. Vamos usar a notação
, onde
representa o porto de origem e
o destino. Por exemplo,
será a quantidade de café enviada de Paranaguá para Nova York.
Passo 3
Agora, vamos definir nossa função objetivo. Queremos maximizar a quantidade total de café transportada para os destinos, respeitando as restrições de demanda e capacidade. Então, nossa função objetivo será a soma de todas as variáveis de decisão:
Passo 4
Vamos agora estabelecer as restrições de capacidade dos navios em cada rota. Cada rota entre porto e destino tem uma capacidade máxima que não pode ser ultrapassada. Por exemplo, de Paranaguá para Nova York, a capacidade é de 70 toneladas, então:
Replicando isso para todas as rotas, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos garantir que a quantidade enviada de cada porto não exceda o estoque disponível. Por exemplo, de Paranaguá, o total enviado para todos os destinos não pode passar de 120 toneladas:
Fazendo o mesmo para os outros portos:
Passo 6
Agora, vamos definir as restrições de demanda. Sabemos que as demandas de Hamburgo e Bordeaux devem ser completamente atendidas. Isso significa que a soma de todo o café enviado para Hamburgo deve ser exatamente 80 toneladas e para Bordeaux exatamente 150 toneladas:
Para Nova York e Le Havre, assumimos que as demandas são de 100 e 90 toneladas, respectivamente, mas não necessariamente precisa ser completamente atendidas:
Passo 7
Por fim, todas as variáveis de decisão precisam ser não negativas, pois não faz sentido transportar uma quantidade negativa de café:
Resposta
O modelo de Programação Linear para otimizar o transporte de café é o seguinte:
Esse modelo considera todas as restrições de capacidade de navio, estoques dos portos e demandas dos destinos, garantindo que as demandas de Hamburgo e Bordeaux sejam totalmente atendidas e que as demais sejam satisfeitas ao máximo possível.
Exercícios relacionados
Problema de Transporte
A Docelar é uma fábrica de fogões domésticos, com escritórios centrais em São Paulo e fábricas em Londrina, Salvador e São Paulo. Atualmente, um dos modelos mais conceituados da Docelar é o Brasileirinho, um fogão de seis bocas de grande aceitação em todo o Brasil. Apesar de contar com uma rede de revendedores, a Docelar pretende agora trabalhar com três grandes armazéns próprios, localizados em Bauru, Porto Alegre e Campo Grande. Londrina é capaz de produzir 5.000 unidades mensais do Brasileirinho, enquanto a fábrica de São Paulo consegue produzir 30.000 unidades mensais. Já Salvador tem uma capacidade intermediária de produção 10.000 unidades por mês.
Os custos unitários de transporte, de cada fábrica a cada um dos armazéns e, as demandas dos armazéns são mostrados na tabela a seguir.
A Docelar é uma fábrica de fogões domésticos, com escritórios centrais em São Paulo e fábricas em Londrina, Salvador e São Paulo. Atualmente, um dos modelos mais conceituados da Docelar é o Brasileirinho, um fogão de seis bocas de grande aceitação em todo o Brasil. Apesar de contar com uma rede de revendedores, a Docelar pretende agora trabalhar com três grandes armazéns próprios, localizados em Bauru, Porto Alegre e Campo Grande. Londrina é capaz de produzir 5.000 unidades mensais do Brasileirinho, enquanto a fábrica de São Paulo consegue produzir 30.000 unidades mensais. Já Salvador tem uma capacidade intermediária de produção 10.000 unidades por mês.
Os custos unitários de transporte, de cada fábrica a cada um dos armazéns e, as demandas dos armazéns são mostrados na tabela a seguir.
Bauru | Porto Alegre | Campo Grande | |
---|---|---|---|
Londrina | 40 | 60 | 60 |
Salvador | 80 | 90 | 70 |
São Paulo | 40 | 60 | 50 |
Demanda (un/mês) | 15.000 | 20.000 | 10.000 |
Formule o modelo de programação linear que minimize o custo total de transporte.
O Problema da Dieta
Objetivo: Compor uma dieta com leite, carne, peixe e salada que, atenda as requisitos nutricionais custe o mínimo possível.
Objetivo: Compor uma dieta com leite, carne, peixe e salada que, atenda as requisitos nutricionais custe o mínimo possível.
Vitamina | Leite | Carne | Peixe | Salada | Requisito |
---|---|---|---|---|---|
A | 2 mg | 2 mg | 10 mg | 20 mg | 11 mg |
C | 50 mg | 20 mg | 10 mg | 30 mg | 70 mg |
D | 80 mg | 70 mg | 10 mg | 80 mg | 250 mg |
Custo |
|
|
|
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Problema de Designação
Uma empresa está envolvida em um esforço para a abertura de quatro escritórios regionais de vendas, nas cidades de Salvador, Recife, Caxias do Sul e Florianópolis.
Dentre seus funcionários, há três coordenadores de vendas (Matos, Pereira e Bernardes) que estão aptos a assumir qualquer um dos novos escritórios. Entretanto, os custos de realocação são diferentes, dependendo do par coordenador/escritório, segundo a matriz a seguir, estabelecido em reais ):
Uma empresa está envolvida em um esforço para a abertura de quatro escritórios regionais de vendas, nas cidades de Salvador, Recife, Caxias do Sul e Florianópolis.
Dentre seus funcionários, há três coordenadores de vendas (Matos, Pereira e Bernardes) que estão aptos a assumir qualquer um dos novos escritórios. Entretanto, os custos de realocação são diferentes, dependendo do par coordenador/escritório, segundo a matriz a seguir, estabelecido em reais
Salvador | Recife | Caxias do Sul | Florianópolis | |
---|---|---|---|---|
Matos | 4.000 | 5.500 | 6.000 | 5.000 |
Pereira | 2.500 | 8.000 | 6.500 | 4.000 |
Bernardes | 2.500 | 5.000 | 11.500 | 7.000 |
Assumindo que a empresa deseja minimizar os custos de preenchimento dos cargos. Formular o modelo de programação linear que decida sobre a distribuição de coordenadores pelos escritórios regionais.
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais