Considere um sistema bloco-mola. A constante de mola é 230 N / m, a massa do bloco é 0,500 kg e o coeficiente de amortecimento b=3,00 kg / s.
(b) Suponhamos que o sistema é submetido a uma força propulsora senoidal
Fd(t)=F máx cos (2 pi fd t), á
em que F máx =10 Ná e fd=4,0 Hz. Encontre a amplitude das oscilações forçadas.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema composto por um bloco preso a uma mola. A mola tem uma constante de mola , a massa do bloco é , e o coeficiente de amortecimento é . Agora, esse sistema está sendo puxado por uma força senoidal á, onde á e . Nosso objetivo é encontrar a amplitude das oscilações forçadas desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma oscilação forçada. Quando aplicamos uma força externa periódica, como a força senoidal dada, o sistema começa a oscilar com uma certa amplitude devido a essa força. A amplitude das oscilações forçadas depende de vários fatores, incluindo a frequência da força externa, as propriedades da mola, a massa do bloco e o amortecimento.

Passo 3

A fórmula para a amplitude X = Fmáxraiz(k - momegad^2)^2 + (bomegad)^2 das oscilações forçadas em um sistema massa-mola-amortecedor é dada por:
omegad = 2pi fd á
Aqui, é a frequência angular da força externa, que está relacionada à frequência por:
Vamos calcular primeiro.

Passo 4

Calculando omegad = 2pi fd = 2pi times 4,0 , Hz = 8pi , rad/s :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada componente da fórmula da amplitude. Primeiro, o termo k - momegad^2 = 230 , N/m - 0,500 , kg times (8pi , rad/s)^2 :
0,500 times (8pi)^2 = 0,500 times 64pi^2 = 32pi^2 , N/m
Calculando o segundo termo:
k - momegad^2 = 230 - 32pi^2 approx 230 - 32 times 9,87 approx 230 - 316 approx -86 , N/m
Então:

Passo 6

Em seguida, calculamos o termo bomegad = 3,00 , kg/s times 8pi , rad/s = 24pi , kg/(s^2) :

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula da amplitude:
X = 10raiz(-86)^2 + (24pi)^2 = 10raiz7396 + (24 times 3,1416)^2
Calculando 24 times 3,1416 approx 75,398 :
X = 10raiz7396 + 5684 = 10raiz13080 approx 10114,28 approx 0,0875 , m
E então:

Resposta

A amplitude das oscilações forçadas é aproximadamente .

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