Considere um sistema cuja entropia é
onde
é a energia e
e
são constantes. Permitimos dois desses sistemas, um com energia
e outro com energia
, trocar energia, e o sistema combinado está isolado de todo o resto. Mostre que a Segunda Lei da Termodinâmica exige que
.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois sistemas que podem trocar energia entre si, mas o total de energia fica constante porque o sistema combinado está isolado. A entropia de cada sistema é dada por $ S(E) = c E^{\alpha} $, onde $ c $ é uma constante positiva e $ \alpha $ também é uma constante. A Segunda Lei da Termodinâmica diz que, em um sistema isolado, a entropia total sempre aumenta ou permanece a mesma no equilíbrio. Nosso objetivo é mostrar que para essa condição ser satisfeita, o valor de $ \alpha $ precisa ser maior que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a entropia total do sistema combinado. Como os dois sistemas podem trocar energia, a entropia total $ S_{total} $ é a soma das entropias dos dois sistemas:
Aqui, $ E_1 $ e $ E_2 $ são as energias dos dois sistemas, e sabemos que a energia total $ E_{total} = E_1 + E_2 $ é constante.
Passo 3
Para encontrar o equilíbrio térmico, precisamos maximizar a entropia total $ S_{total} $ em relação à distribuição da energia entre os dois sistemas. Isso significa que vamos derivar $ S_{total} $ em relação a $ E_1 $ e igualar a zero para encontrar o ponto de máximo.
Passo 4
Vamos derivar $ S_{total} $ em relação a $ E_1 $:
Aplicando a derivada, temos:
Para encontrar o ponto de máximo, igualamos a derivada a zero:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer distribuição de energia $ E_1 $, é necessário que $ \alpha - 1 > 0 $, ou seja, $ \alpha > 1 $. Se $ \alpha \leq 1 $, a entropia total não teria um máximo estável, o que violaria a Segunda Lei da Termodinâmica, já que a entropia não aumentaria de maneira consistente até o equilíbrio.
Resposta
Para que a Segunda Lei da Termodinâmica seja satisfeita, é necessário que $ \alpha > 1 $.