Considere um sistema de partículas, as quais podem ter três valores de energia, -E, 0, E. Imagine que você tenha N partículas idênticas sem restrição quanto ao número delas que possam ter um valor particular de energia. Defina OmegaB(E) como o número de diferentes maniras que você possa garantir que N partículas tenha uma energia total E.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e o que a gente precisa saber pra resolver.
Enunciado resumido: Temos um sistema com N partículas idênticas, e cada partícula pode ter uma das três energias: -E, 0 ou E. Queremos descobrir de quantas maneiras diferentes essas partículas podem ter uma energia total de E. Esse número de maneiras é chamado de OmegaB(E).
Conteúdo da matéria: Isso envolve conceitos de combinatória e estatística, especificamente a contagem de arranjos possíveis de partículas com diferentes estados de energia.
O que vamos precisar: Vamos usar a fórmula de combinatória para contar as diferentes distribuições de energia entre as partículas que somam o total desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como distribuir as energias entre as partículas. Cada partícula pode ter:
  • Energia -E
  • Energia 0
  • Energia E
Vamos chamar:
  • n-1 de partículas com energia -E
  • n0 de partículas com energia 0
  • n+1 de partículas com energia E
Como temos N partículas no total, podemos escrever:
n-1 + n0 + n+1 = N

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia total do sistema. A energia total é E, então temos:
(-E) cdot n-1 + 0 cdot n0 + E cdot n+1 = E
Simplificando essa equação:
-E cdot n-1 + E cdot n+1 = E
Podemos dividir todos os termos por E (assumindo que E neq 0):
-n-1 + n+1 = 1
Isso significa que:
n+1 = n-1 + 1

Passo 4

Agora, substituímos n+1 na primeira equação:
n-1 + n0 + (n-1 + 1) = N
Somando os termos semelhantes:
2n-1 + n0 + 1 = N
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2n-1 + n0 = N - 1

Passo 5

Queremos encontrar todas as combinações de n-1 e n0 que satisfazem a equação acima. Para isso, n-1 pode variar de 0 até o maior valor que faz 2n-1 <= N - 1.
Ou seja:
n-1 <= lfloor N - 12 rfloor
Para cada valor de n-1, podemos encontrar n0:
n0 = N - 1 - 2n-1

Passo 6

Para cada combinação válida de n-1 e n0, calculamos n+1 = n-1 + 1. Cada conjunto (n-1, n0, n+1) representa uma maneira distinta de distribuir as energias.
A quantidade de arranjos para cada conjunto é dada pelo coeficiente multinomial:
N!n-1! , n0! , n+1!

Passo 7

Portanto, para encontrar o total de maneiras diferentes, somamos esses coeficientes para todos os valores possíveis de n-1:
OmegaB(E) = sumn-1=0^lfloor N-12 rfloor N!n-1! , (N - 1 - 2n-1)! , (n-1 + 1)!

Resposta

A quantidade de maneiras diferentes de distribuir as energias das N partículas de modo que a energia total seja E é:
OmegaB(E) = sumn-1=0^lfloor N-12 rfloor N!n-1! , (N - 1 - 2n-1)! , (n-1 + 1)!

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