Considere um sistema de partículas, as quais podem ter três valores de energia,
. Imagine que você tenha
partículas idênticas sem restrição quanto ao número delas que possam ter um valor particular de energia. Defina
como o número de diferentes maniras que você possa garantir que
partículas tenha uma energia total
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e o que a gente precisa saber pra resolver.
Enunciado resumido: Temos um sistema com
partículas idênticas, e cada partícula pode ter uma das três energias:
,
ou
. Queremos descobrir de quantas maneiras diferentes essas partículas podem ter uma energia total de
. Esse número de maneiras é chamado de
.
Conteúdo da matéria: Isso envolve conceitos de combinatória e estatística, especificamente a contagem de arranjos possíveis de partículas com diferentes estados de energia.
O que vamos precisar: Vamos usar a fórmula de combinatória para contar as diferentes distribuições de energia entre as partículas que somam o total desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como distribuir as energias entre as partículas. Cada partícula pode ter:
- Energia
- Energia
- Energia
Vamos chamar:
-
de partículas com energia -
de partículas com energia -
de partículas com energia
Como temos
partículas no total, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia total do sistema. A energia total é
, então temos:
Simplificando essa equação:
Podemos dividir todos os termos por
(assumindo que
):
Isso significa que:
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 5
Queremos encontrar todas as combinações de
e
que satisfazem a equação acima. Para isso,
pode variar de
até o maior valor que faz
.
Ou seja:
Para cada valor de
, podemos encontrar
:
Passo 6
Para cada combinação válida de
e
, calculamos
. Cada conjunto
representa uma maneira distinta de distribuir as energias.
A quantidade de arranjos para cada conjunto é dada pelo coeficiente multinomial:
Passo 7
Portanto, para encontrar o total de maneiras diferentes, somamos esses coeficientes para todos os valores possíveis de
:
Resposta
A quantidade de maneiras diferentes de distribuir as energias das
partículas de modo que a energia total seja
é: