Um certo gás com
moléculas tem
microestados de energia
. Esse gás está em um meio que mantém a probabilidde da energia total do gás ficar entre
e
ser de
. Encontre
, considerando que o gás deve ter alguma energia entre zero e infinito. Qual é o número médio de microestados desse gás?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás com $ N $ moléculas que possui $ \Omega(E) = \left(\frac{E}{N \epsilon_{0}}\right)^{N} $ microestados para uma energia total $ E $. Esse gás está em um ambiente que faz com que a probabilidade de a energia total ficar entre $ E $ e $ E + dE $ seja proporcional a $ C \exp(-\alpha E) $, onde $ \alpha > 0 $.
O que precisamos fazer:
- Encontrar a constante $ C $ assumindo que a energia do gás varia de 0 a infinito.
- Calcular o número médio de microestados desse gás.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística estatística, especificamente a normalização de probabilidades e o cálculo de valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante $ C $. Sabemos que a probabilidade total deve somar 1 quando consideramos todas as energias possíveis, ou seja, de $ E = 0 $ até $ E = \infty $.
A probabilidade fornecida é $ P(E) = C \exp(-\alpha E) $. Para normalizar, integramos $ P(E) $ sobre todo o intervalo de $ E $:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos $ C = \alpha $, vamos calcular o número médio de microestados, ou seja, o valor médio de $ \Omega(E) $.
A média de $ \Omega(E) $ é dada por:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Substituímos $ \Omega(E) $ e $ P(E) $:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir $ x = \alpha E $, o que implica $ E = \frac{x}{\alpha} $ e $ dE = \frac{dx}{\alpha} $.
Passo 6
Substituindo na integral:
Simplificando os termos fora da integral:
Passo 7
A integral $ \int_{0}^{\infty} x^{N} e^{-x} dx $ é conhecida e igual ao fatorial $ N! $ (função gama $ \Gamma(N+1) = N! $).
Então:
Resposta
A constante de normalização é $ C = \alpha $ e o número médio de microestados do gás é dado por: