Um certo gás com N moléculas tem Omega(E)=(E / N epsilon0)^N microestados de energia E. Esse gás está em um meio que mantém a probabilidde da energia total do gás ficar entre E e E+d E ser de C exp (-alpha E), alpha>0. Encontre C, considerando que o gás deve ter alguma energia entre zero e infinito. Qual é o número médio de microestados desse gás?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás com $ N $ moléculas que possui $ \Omega(E) = \left(\frac{E}{N \epsilon_{0}}\right)^{N} $ microestados para uma energia total $ E $. Esse gás está em um ambiente que faz com que a probabilidade de a energia total ficar entre $ E $ e $ E + dE $ seja proporcional a $ C \exp(-\alpha E) $, onde $ \alpha > 0 $.
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar a constante $ C $ assumindo que a energia do gás varia de 0 a infinito.
  2. Calcular o número médio de microestados desse gás.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística estatística, especificamente a normalização de probabilidades e o cálculo de valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante $ C $. Sabemos que a probabilidade total deve somar 1 quando consideramos todas as energias possíveis, ou seja, de $ E = 0 $ até $ E = \infty $.
A probabilidade fornecida é $ P(E) = C \exp(-\alpha E) $. Para normalizar, integramos $ P(E) $ sobre todo o intervalo de $ E $:
C

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
C integral0^infty exp(-alpha E) , dE = C [ -1alpha exp(-alpha E) ]0^infty = C ( 0 - (-1alpha) ) = Calpha = 1
Portanto:
Calpha = 1 implies C = alpha

Passo 4

Agora que temos $ C = \alpha $, vamos calcular o número médio de microestados, ou seja, o valor médio de $ \Omega(E) $.
A média de $ \Omega(E) $ é dada por:
C = alpha

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Substituímos $ \Omega(E) $ e $ P(E) $:
Omega(E)
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir $ x = \alpha E $, o que implica $ E = \frac{x}{\alpha} $ e $ dE = \frac{dx}{\alpha} $.

Passo 6

Substituindo na integral:
lang<= Omega rang<= = alpha integral0^infty (xalphaN epsilon0)^N exp(-x) cdot dxalpha = alpha cdot 1alpha^N cdot 1(N epsilon0)^N cdot 1alpha integral0^infty x^N exp(-x) , dx
Simplificando os termos fora da integral:
lang<= Omega rang<= = alphaalpha^N cdot (N epsilon0)^N cdot alpha integral0^infty x^N exp(-x) , dx = 1alpha^N (N epsilon0)^N integral0^infty x^N e^-x dx

Passo 7

A integral $ \int_{0}^{\infty} x^{N} e^{-x} dx $ é conhecida e igual ao fatorial $ N! $ (função gama $ \Gamma(N+1) = N! $).
Então:
integral0^infty x^N e^-x dx

Resposta

A constante de normalização é $ C = \alpha $ e o número médio de microestados do gás é dado por:
C = alpha

Exercícios relacionados