A resposta de um sistema invariante no tempo para uma entrada x(t)=0.5 de é dada por
y(t)=ccc e^-2 t & se & 3 <= t<4 0 & se & t<3 ou t >= 4
(a) Avalie se este sistema é BIBO-estável, causal e se tem memória, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe está relacionada à análise de sistemas no campo de Processamento de Sinais, mais especificamente sobre verificar se um sistema é BIBO-estável, causal e se tem memória. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa e analisar a resposta do sistema dada para uma entrada específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é BIBO-estabilidade. BIBO significa “Bounded Input, Bounded Output” (entrada limitada, saída limitada). Um sistema é BIBO-estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Ou seja, se a entrada não cresce para o infinito, a saída também não deve.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função de resposta do sistema dada:
y(t)=ccc e^-2 t & se & 3 <= t<4 0 & se & t<3 ou t >= 4
Vemos que a saída é zero para $ t < 3 $ e $ t \geq 4 $, e entre $ t = 3 $ e $ t = 4 $, a saída é $ e^{-2t} $.

Passo 4

Vamos verificar a BIBO-estabilidade. A saída $ y(t) $ é sempre limitada porque $ e^{-2t} $ é uma função que decresce exponencialmente e nunca vai além de 1 quando $ t \geq 0 $. Além disso, fora do intervalo $ 3 \leq t < 4 $, a saída é zero. Portanto, para qualquer entrada limitada, a saída também será limitada.

Passo 5

Agora, vamos verificar a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante $ t $ depende apenas dos valores da entrada em instantes $ t’ \leq t $. Observando a função de resposta, vemos que a saída começa em $ t = 3 $ mesmo que a entrada seja em $ t = 2 $. Isso significa que a saída depende de valores futuros da entrada, já que há um atraso entre a entrada e a saída. Portanto, o sistema não é causal.

Passo 6

Por último, vamos conferir se o sistema tem memória. Um sistema tem memória se a saída em determinado instante depende de valores passados ou futuros da entrada. No nosso caso, a saída em $ t = 3 $ depende da entrada em $ t = 2 $, indicando que o sistema está usando informações de um instante anterior. Então, o sistema possui memória.

Resposta

O sistema analisado é BIBO-estável, não é causal e possui memória.

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