Considere um sistema com dois capacitores, C1 e C2, e um resistor R. O capacitor C1 é inicialmente carregado a uma tensão V0, enquanto o capacitor C2 é mantido descarregado. Após o processo de carregamento, os capacitores são conectados em paralelo através de um resistor e duas chaves (sem a presença de uma bateria), como mostra a figura. Em seguida, as chaves S1 e S2 são fechadas. (a) Quais são as cargas finais em C1 e C2 ? (b) Qual é a razão entre as energias inicial e final do sistema, i.e. Ui / Uf ? © O que causa a diminuição na energia armazenada nos capacitores?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema com dois capacitores, e , e um resistor . Inicialmente, está carregado com uma tensão e está descarregado. Depois, você conecta os capacitores em paralelo através do resistor e fecha as chaves e . A gente vai precisar saber sobre capacitores em paralelo, conservação de carga e energia armazenada nos capacitores para resolver as perguntas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a carga. Quando Qinicial = C1 times V0 e Q1 = C1 times Vf estão conectados em paralelo, a carga total do sistema é conservada. Isso significa que a carga inicial no Q2 = C2 times Vf será redistribuída entre os dois capacitores.
A carga inicial em Qinicial = Q1 + Q2 é:
C1 times V0 = C1 times Vf + C2 times Vf
Após a conexão, a tensão nos capacitores será a mesma, vamos chamar essa tensão de Vf = C1 times V0C1 + C2 . Assim, as cargas finais serão:
Q1 = C1 times C1 times V0C1 + C2 = C1^2 times V0C1 + C2
Q2 = C2 times C1 times V0C1 + C2 = C1 times C2 times V0C1 + C2
Como a carga total é conservada:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos para a parte da energia. A energia armazenada em um capacitor é dada por:
U = 12 C V^2
A energia inicial no sistema é apenas a do Ui = 12 C1 V0^2 :
Uf = 12 C1 Vf^2 + 12 C2 Vf^2 = 12 (C1 + C2) Vf^2
A energia final no sistema, com ambos os capacitores carregados a Uf = 12 (C1 + C2) ( C1 V0C1 + C2 )^2 , é:
Uf = 12 C1^2 V0^2C1 + C2
Substituindo UiUf = 12 C1 V0^212 C1^2 V0^2C1 + C2 = C1 + C2C1 :
A razão entre a energia inicial e final é:

Passo 4

Por último, vamos entender por que a energia diminui. A diferença de energia entre e é dissipada no resistor durante o processo de equalização das cargas. Isso acontece porque a corrente que circula através do resistor gera calor devido à resistência, conforme a Lei de Joule.

Resposta

(a) As cargas finais são:
Q1 = C1^2 times V0C1 + C2
Q2 = C1 times C2 times V0C1 + C2
(b) A razão entre as energias inicial e final do sistema é:
UiUf = C1 + C2C1
© A diminuição na energia armazenada nos capacitores é causada pela dissipação de energia no resistor na forma de calor durante o processo de equalização das cargas.

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