Um grande número N de espiras delgadas muito próxima umas das outras é enrolada, numa só camada, na superfície de uma de madeira de raio a, sendo os planos das espiras perpendiculares ao eixo da esfera e cobrindo completamente sua superfície. Se a corrente no enrolamento for
, determine o campo magnético no centro da esfera. (exercício 8-9, livro Fundamentos da teoria eletromagnética; autor Reitz)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grande número
de espiras finas, muito próximas umas das outras, enroladas em uma única camada na superfície de uma esfera de madeira com raio
. As espiras estão dispostas de forma que seus planos são perpendiculares ao eixo da esfera e cobrem completamente sua superfície. A corrente que passa por esse enrolamento é
. Nosso objetivo é determinar o campo magnético no centro da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetostática, especialmente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético criado por correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético
gerado por um elemento de corrente
:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo,
é o vetor unitário na direção de
, a distância do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 3
No nosso caso, cada espira é um círculo com raio
, e todas são idênticas e dispostas de forma uniforme na superfície da esfera. O campo magnético no centro de uma única espira circular é dado por:
Isso ocorre porque, no centro de um círculo, o campo magnético gerado por uma espira com corrente
é perpendicular ao plano da espira e tem essa magnitude.
Passo 4
Como temos
espiras muito próximas umas das outras, todas contribuindo igualmente para o campo magnético no centro da esfera, o campo total será a soma do campo de cada espira. Portanto:
Passo 5
Simplificando a expressão, obtemos:
Resposta
O campo magnético no centro da esfera é dado por:
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e
, e um resistor
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, enquanto o capacitor
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e
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