Um grande número N de espiras delgadas muito próxima umas das outras é enrolada, numa só camada, na superfície de uma de madeira de raio a, sendo os planos das espiras perpendiculares ao eixo da esfera e cobrindo completamente sua superfície. Se a corrente no enrolamento for i, determine o campo magnético no centro da esfera. (exercício 8-9, livro Fundamentos da teoria eletromagnética; autor Reitz)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grande número de espiras finas, muito próximas umas das outras, enroladas em uma única camada na superfície de uma esfera de madeira com raio . As espiras estão dispostas de forma que seus planos são perpendiculares ao eixo da esfera e cobrem completamente sua superfície. A corrente que passa por esse enrolamento é . Nosso objetivo é determinar o campo magnético no centro da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetostática, especialmente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético criado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético dB = mu04pi I , dl times rr^2 gerado por um elemento de corrente :
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é o vetor unitário na direção de , a distância do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 3

No nosso caso, cada espira é um círculo com raio Bespira = mu0 I2a , e todas são idênticas e dispostas de forma uniforme na superfície da esfera. O campo magnético no centro de uma única espira circular é dado por:
Isso ocorre porque, no centro de um círculo, o campo magnético gerado por uma espira com corrente é perpendicular ao plano da espira e tem essa magnitude.

Passo 4

Como temos Btotal = N times Bespira = N times mu0 I2a espiras muito próximas umas das outras, todas contribuindo igualmente para o campo magnético no centro da esfera, o campo total será a soma do campo de cada espira. Portanto:

Passo 5

Simplificando a expressão, obtemos:
Btotal = mu0 N I2a

Resposta

O campo magnético no centro da esfera é dado por:
B = mu0 N I2a

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