Dado um circuito de corrente na forma de um hexágono regular de lado a, se o circuito conduzir a corrente I, encontre a indução magnética no centro do hexágono. (exercício 8-7; livro Fundamentos da teoria eletromagnética; autor Reitz)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a indução magnética no centro de um circuito que tem a forma de um hexágono regular de lado , quando esse circuito conduz uma corrente . Vamos usar conceitos da teoria eletromagnética, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que um hexágono regular tem 6 lados iguais e todos os ângulos internos iguais. Para calcular a indução magnética no centro, vamos considerar a contribuição de cada um desses lados.

Passo 3

A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I, dl times rr^2 gerado por um pequeno elemento de corrente é dado por:
Onde:
  • é a permeabilidade do espaço.
  • é a corrente.
  • é o elemento de comprimento.
  • é o vetor unitário na direção de , a distância do elemento ao ponto onde queremos calcular o campo.
  • é a distância do elemento ao ponto.

Passo 4

No caso do hexágono, cada lado contribui igualmente para o campo magnético no centro. A distância R = a2 sin(pi6) = a2 times 12 = a1 = a do centro ao meio de cada lado (o raio da circunferência circunscrita) pode ser encontrada usando trigonometria. Para um hexágono regular, essa distância é:
Então, .

Passo 5

O campo magnético produzido por um único lado do hexágono no centro é dado por:
Blado = mu0 I4 a times 2 sin(pi6)
Simplificando Blado = mu0 I4 a times 2 times 12 = mu0 I4 a , temos:

Passo 6

Como são 6 lados iguais contribuindo para o campo no centro, o campo total B = 6 times Blado = 6 times mu0 I4 a = 6 mu0 I4 a = 3 mu0 I2 a é:

Resposta

A indução magnética no centro do hexágono é .

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