Dado um circuito de corrente na forma de um hexágono regular de lado a, se o circuito conduzir a corrente I, encontre a indução magnética no centro do hexágono. (exercício 8-7; livro Fundamentos da teoria eletromagnética; autor Reitz)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a indução magnética no centro de um circuito que tem a forma de um hexágono regular de lado
, quando esse circuito conduz uma corrente
. Vamos usar conceitos da teoria eletromagnética, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que um hexágono regular tem 6 lados iguais e todos os ângulos internos iguais. Para calcular a indução magnética no centro, vamos considerar a contribuição de cada um desses lados.
Passo 3
A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético
gerado por um pequeno elemento de corrente
é dado por:
Onde:
-
é a permeabilidade do espaço. -
é a corrente. -
é o elemento de comprimento. -
é o vetor unitário na direção de , a distância do elemento ao ponto onde queremos calcular o campo. -
é a distância do elemento ao ponto.
Passo 4
No caso do hexágono, cada lado contribui igualmente para o campo magnético no centro. A distância
do centro ao meio de cada lado (o raio da circunferência circunscrita) pode ser encontrada usando trigonometria. Para um hexágono regular, essa distância
é:
Então,
.
Passo 5
O campo magnético produzido por um único lado do hexágono no centro é dado por:
Simplificando
, temos:
Passo 6
Como são 6 lados iguais contribuindo para o campo no centro, o campo total
é:
Resposta
A indução magnética no centro do hexágono é
.