Considere um Sistema elétrico de duas barras 1 e 2, em ambas tem-se gerador e carga conectados a elas. O perfil dos módulos das tensões de ambas de 1pu, a reatância da linha que conecta ambas as barras de 0,03pu (a resistência é desprezada) e as cargas: SD 1=10,00+j 3,00 pu e SD 2=20,00+j 10,00 pu. Sabendo que da carga ativa total ( 30 pu ) apenas 10 pu podem ser gerados pelo gerador em 2, devido ao seu tamanho. Calcule as potências S(P+jQ) de cada gerador, a S12 e S21 em pu e o De.
Considere:
Pkm=([Vk] times[Vm]) / Xkm times sen thetakm
Qk m=1 / Xk m times([V k]^2-[Vk] times[Vm] x cos Thetak m)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema elétrico com duas barras (ou ônibus) chamadas 1 e 2. Em cada barra, tem um gerador e uma carga conectados. As tensões nas duas barras são de 1 unidade por unidade (pu), e a reatância da linha que conecta as barras é de 0,03 pu (a resistência não considera). As cargas são:
  • Na barra 1: $ \mathrm{S}_{\mathrm{D}1} = 10,00 + \mathrm{j}3,00 , pu $
  • Na barra 2: $ \mathrm{S}_{\mathrm{D}2} = 20,00 + \mathrm{j}10,00 , pu $
No total, a carga ativa é de 30 pu, mas o gerador na barra 2 só consegue fornecer 10 pu dessa carga ativa devido ao seu tamanho limitado. Precisamos calcular:
  1. As potências dos geradores em cada barra ($ \mathbf{S} = \mathbf{P} + \mathrm{j}\mathbf{Q} $)
  2. As potências na linha, $ \mathrm{S}{12} $ e $ \mathrm{S}{21} $
  3. A diferença de potência reativa ($ \Delta Q $)
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de potência em sistemas elétricos e as fórmulas fornecidas para $ \mathbf{P}{\mathrm{km}} $ e $ Q{\mathrm{km}} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada gerador precisa fornecer a potência para a carga conectada à sua barra, além de qualquer potência que seja transferida para a outra barra através da linha de transmissão. Como a carga total é de 30 pu e o gerador na barra 2 pode fornecer apenas 10 pu dessa carga ativa, o gerador na barra 1 deve fornecer o restante.
Então, a potência ativa total fornecida pelos geradores deve igualar a carga ativa total:
P>=rador 1 + P>=rador 2 = 30 , pu
Sabemos que $ P_{gerador 2} = 10 , pu $, então:
P>=rador 2 = 10 , pu

Passo 3

Agora, vamos calcular as potências nos geradores, considerando também a parte reativa. Para isso, precisamos saber como a potência reativa é distribuída entre os geradores e a linha de transmissão.
Primeiro, vamos calcular a potência reativa total das cargas:
Qtotal das cargas = QD1 + QD2 = 3,00 + 10,00 = 13,00 , pu
Os geradores precisam fornecer essa potência reativa. Vamos supor que a distribuição seja proporcional à capacidade ativa de cada gerador. Portanto:
Q>=rador 1 = 2030 times 13 = 23 times 13 approx 8,67 , pu
Q>=rador 2 = 1030 times 13 = 13 times 13 approx 4,33 , pu
Então, as potências dos geradores são:
S>=rador 1 = 20 + j8,67 , pu
S>=rador 2 = 10 + j4,33 , pu

Passo 4

Agora, vamos calcular as potências na linha que conecta as duas barras, $ \mathrm{S}{12} $ e $ \mathrm{S}{21} $. Para isso, usamos as fórmulas fornecidas:
S12
S21
Como $ V_k = V_m = 1 , pu $ e $ X_{km} = 0,03 , pu $, as fórmulas simplificam para:
Pkm = ( Vk times Vm ) / Xkm times sin(thetakm)
Qkm = 1Xkm times ( Vk^2 - Vk Vm cos(thetakm) )
Mas precisamos encontrar o ângulo $ \theta_{12} $ para calcular $ \mathbf{P}{12} $ e $ Q{12} $. Infelizmente, com as informações dadas, não temos diretamente o valor desse ângulo. Entretanto, podemos assumir que a diferença de fase está relacionada à transferência de potência ativa entre as barras.
Sabendo que a potência ativa total transferida $ P_{12} = 10 , pu $ (do gerador 2 para a carga), podemos rearranjar a fórmula para encontrar $ \theta_{12} $:
Vk = Vm = 1 , pu
Xkm = 0,03 , pu
P12 = 1 times 10,03 times sin(theta12)
Agora, podemos calcular $ Q_{12} $:
Q12 = 10,03 times ( 1^2 - 1 times 1 times cos(theta12) )
theta12
P12
Então, temos:
Q12
P12 = 10 , pu
(O sinal negativo em $ \mathrm{S}_{21} $ indica que a potência está fluindo na direção oposta, de 2 para 1.)

Passo 5

Por fim, vamos calcular a diferença de potência reativa ($ \Delta Q $). Essa diferença ocorre devido às perdas na linha de transmissão.
Sabemos que a potência reativa total fornecida pelos geradores é:
De
E a potência reativa total consumida pelas cargas é:
Qtotal fornecida = Q>=rador 1 + Q>=rador 2 = 8,67 + 4,33 = 13,00 , pu
Além disso, a potência reativa nas linhas é de $ Q_{12} = 1,54 , pu $.
Então, a diferença de potência reativa é justamente a potência nas linhas:
Qtotal das cargas = 13,00 , pu

Resposta

As potências dos geradores são:
  • Gerador 1: $ \mathbf{S}_{gerador 1} = 20 + \mathrm{j}8,67 , pu $
  • Gerador 2: $ \mathbf{S}_{gerador 2} = 10 + \mathrm{j}4,33 , pu $
As potências na linha são:
  • $ \mathrm{S}_{12} = 10 + \mathrm{j}1,54 , pu $
  • $ \mathrm{S}_{21} = -10 - \mathrm{j}1,54 , pu $
A diferença de potência reativa é:
  • $ \Delta Q = 1,54 , pu $

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