Dado o potencial
,
determine a densidade de fluxo elétrico D em
;
determine a densidade de fluxo elétrico D em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um potencial elétrico $ V = \frac{10}{r^{2}}\sin \theta \cos \phi $ e pede para determinar a densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $ no ponto $ (2, \frac{\pi}{2}, 0) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, gradiente em coordenadas esféricas e a relação entre $ \mathbf{D} $ e $ \mathbf{E} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
E a densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $ está ligada ao campo elétrico pela constante de permissividade do vácuo $ \epsilon_0 $:
Então, nossa estratégia será calcular o gradiente de $ V $ para encontrar $ \mathbf{E} $ e, depois, multiplicar por $ \epsilon_0 $ para obter $ \mathbf{D} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de $ V $ em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas
, o gradiente de uma função $ V(r, \theta, \phi) $ é dado por:
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de $ V $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ V = \frac{10}{r^{2}} \sin \theta \cos \phi $:
- Derivada parcial em relação a $ r $:
- Derivada parcial em relação a $ \theta $:
- Derivada parcial em relação a $ \phi $:
Passo 5
Substituindo essas derivadas no gradiente, temos:
Passo 6
Ainda precisamos avaliar esse gradiente no ponto $ (2, \frac{\pi}{2}, 0) $. Vamos substituir $ r = 2 $, $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \phi = 0 $:
- Para $ \hat{e}_r $:
- Para $ \hat{e}_\theta $:
- Para $ \hat{e}_\phi $:
Então, o gradiente de $ V $ no ponto dado é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o campo elétrico $ \mathbf{E} $:
E, finalmente, a densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $:
Considerando $ \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $, temos:
Resposta
A densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $ no ponto $ (2, \frac{\pi}{2}, 0) $ é aproximadamente $ 2.21 \times 10^{-11} , C/m^2 $ na direção radial $ \hat{e}_r $.