Dado o potencial V=10r^2 sen theta cos phi,
determine a densidade de fluxo elétrico D em (2, pi / 2,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um potencial elétrico $ V = \frac{10}{r^{2}}\sin \theta \cos \phi $ e pede para determinar a densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $ no ponto $ (2, \frac{\pi}{2}, 0) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico, gradiente em coordenadas esféricas e a relação entre $ \mathbf{D} $ e $ \mathbf{E} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
E
E a densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $ está ligada ao campo elétrico pela constante de permissividade do vácuo $ \epsilon_0 $:
V
Então, nossa estratégia será calcular o gradiente de $ V $ para encontrar $ \mathbf{E} $ e, depois, multiplicar por $ \epsilon_0 $ para obter $ \mathbf{D} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de $ V $ em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas V , o gradiente de uma função $ V(r, \theta, \phi) $ é dado por:
(r, theta, phi)
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de $ V $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ V = \frac{10}{r^{2}} \sin \theta \cos \phi $:
  1. Derivada parcial em relação a $ r $:
V = 10r^2 sin theta cos phi
  1. Derivada parcial em relação a $ \theta $:
r
  1. Derivada parcial em relação a $ \phi $:
partial Vpartial r = partialpartial r ( 10r^2 sin theta cos phi ) = -20r^3 sin theta cos phi

Passo 5

Substituindo essas derivadas no gradiente, temos:
nabla V = ( -20r^3 sin theta cos phi ) er + ( 10r^3 cos theta cos phi ) etheta + ( -10r^3 sin theta sin phi ) ephi

Passo 6

Ainda precisamos avaliar esse gradiente no ponto $ (2, \frac{\pi}{2}, 0) $. Vamos substituir $ r = 2 $, $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \phi = 0 $:
  1. Para $ \hat{e}_r $:
(2, pi2, 0)
  1. Para $ \hat{e}_\theta $:
r = 2
  1. Para $ \hat{e}_\phi $:
theta = pi2
Então, o gradiente de $ V $ no ponto dado é:
phi = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico $ \mathbf{E} $:
E
E, finalmente, a densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $:
E = -nabla V = 2.5 er
Considerando $ \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $, temos:
D

Resposta

A densidade de fluxo elétrico $ \mathbf{D} $ no ponto $ (2, \frac{\pi}{2}, 0) $ é aproximadamente $ 2.21 \times 10^{-11} , C/m^2 $ na direção radial $ \hat{e}_r $.

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