Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
Encontre a solução geral do sistema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem e homogêneo que você enviou. O objetivo aqui é encontrar a solução geral do sistema:
Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes, autovalores e autovetores, que nos ajudarão a encontrar as soluções das equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das variáveis
e
em uma matriz. Nosso sistema fica assim:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Os autovalores são soluções da equação caracterísica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 4
Com os autovalores encontrados (
e
), vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para
:
Resolvendo, temos
. Podemos escolher
, então o autovetor é:
Para
:
Resolvendo, temos
. Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores vezes uma constante de integração.
Assim, a solução geral é:
Substituindo os valores:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes de integração.
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.
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e
.
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