Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
Encontre a solução geral do sistema:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem e homogêneo que você enviou. O objetivo aqui é encontrar a solução geral do sistema:
Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes, autovalores e autovetores, que nos ajudarão a encontrar as soluções das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das variáveis e em uma matriz. Nosso sistema fica assim:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Os autovalores são soluções da equação caracterísica:
Onde é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 4

Com os autovalores encontrados ( e ), vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para :
Resolvendo, temos . Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvendo, temos . Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores vezes uma constante de integração.
Assim, a solução geral é:
Substituindo os valores:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver o P.V.I
Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir: .
Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
Encontre a única solução do problema tal que e .
Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo: