Use a transformada de Laplace para resolver o P.V.I

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e a gente precisa resolver isso usando a Transformada de Laplace. Então, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e como resolver equações algébricas que surgem dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Sabemos que:
Como e , as expressões ficam mais simples:
Substituindo na equação:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos com :
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace que lida com atrasos (shift) no tempo:
Aqui, e . Então, precisamos achar a inversa de .

Passo 6

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então:

Passo 7

Agora, encontramos a inversa da Transformada de Laplace para cada termo:
Então:

Passo 8

Voltando ao atraso, aplicamos a propriedade:
Onde é a função degrau unitário que garante que a solução só seja válida para .

Resposta

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Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir: .
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