Use a transformada de Laplace para resolver o P.V.I
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, e a gente precisa resolver isso usando a Transformada de Laplace. Então, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e como resolver equações algébricas que surgem dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Sabemos que:
Como
e
, as expressões ficam mais simples:
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos com
:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace que lida com atrasos (shift) no tempo:
Aqui,
e
. Então, precisamos achar a inversa de
.
Passo 6
Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então:
Passo 7
Agora, encontramos a inversa da Transformada de Laplace para cada termo:
Então:
Passo 8
Voltando ao atraso, aplicamos a propriedade:
Onde
é a função degrau unitário que garante que a solução só seja válida para
.
Resposta
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Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
.
Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
,
Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
Encontre a solução geral do sistema:
Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
Encontre a única solução do problema tal que
e
.