Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir: G(s) = e^(-pi s) * 3 / (s - 4)^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a anti-transformada de Laplace da função . Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a propriedade de deslocamento no tempo e a inversa de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a propriedade de deslocamento e encontrar a anti-transformada básica da parte racional da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que não está multiplicada pelo termo exponencial . Temos:
Sabemos que a transformada de Laplace de é . Comparando com nossa função, temos e (já que ).

Passo 3

Agora, encontramos a anti-transformada da parte racional:
Aqui, usamos que quando .

Passo 4

Em seguida, vamos tratar do termo na função original. A propriedade de deslocamento no tempo diz que:
onde é a função de Heaviside que “liga” a função a partir de .

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com e , temos:

Resposta

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