Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a anti-transformada de Laplace da função
. Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a propriedade de deslocamento no tempo e a inversa de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a propriedade de deslocamento e encontrar a anti-transformada básica da parte racional da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da função
que não está multiplicada pelo termo exponencial
. Temos:
Sabemos que a transformada de Laplace de
é . Comparando com nossa função, temos
e
(já que
).
Passo 3
Agora, encontramos a anti-transformada da parte racional:
Aqui, usamos que
quando
.
Passo 4
Em seguida, vamos tratar do termo
na função original. A propriedade de deslocamento no tempo diz que:
onde
é a função de Heaviside que “liga” a função
a partir de
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com
e
, temos: