Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
Encontre a única solução do problema tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem que você me passou. A gente está lidando com um sistema homogêneo, o que significa que todas as equações igualam a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e autovalores, além de aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita bastante na hora de resolver. O sistema que temos é:
Podemos representar isso como uma matriz
multiplicada pelo vetor
:
Onde:
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Os autovalores nos dão informações sobre o comportamento da solução e os autovetores nos ajudam a construir a solução geral.
Primeiro, encontramos os autovalores
resolvendo o determinante
:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Resolvendo:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor é:
Para
:
Resolvendo:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor
e seu autovetor
, a solução correspondente é
.
Assim, a solução geral é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Primeiro, calculamos
:
Isso resulta nas equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
.
Resposta
A solução única que satisfaz as condições iniciais é:
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para fabricar uma caixa pequena,
para uma caixa média e
para uma caixa grande. Os custos fixos são de
.
(b) Encontre e interprete-a.
(b) Encontre