Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
x'(t) = 2*x(t) + 2*y(t) ; y'(t) = x(t) + 3*y(t)
Encontre a única solução do problema tal que x(0) = 0 e y(0) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem que você me passou. A gente está lidando com um sistema homogêneo, o que significa que todas as equações igualam a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e autovalores, além de aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita bastante na hora de resolver. O sistema que temos é:
Podemos representar isso como uma matriz multiplicada pelo vetor :
Onde:

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Os autovalores nos dão informações sobre o comportamento da solução e os autovetores nos ajudam a construir a solução geral.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante :
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo:
Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvendo:
Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor e seu autovetor , a solução correspondente é .
Assim, a solução geral é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais e para encontrar e .
Primeiro, calculamos :
Isso resulta nas equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então, .

Resposta

A solução única que satisfaz as condições iniciais é:

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