Encontre os valores de k in R tais que o sistema seja
Possível e determinado.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: k x + y + z = 1 x + k y + z = 1 x + y + k z = 1 , e . As equações são:
O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de que fazem esse sistema ser possível e determinado. Ou seja, queremos que esse sistema tenha uma única solução. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
Um sistema de equações lineares é possível e determinado quando o determinante dessa matriz é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
O determinante de uma matriz det(A) = k(k cdot k - 1 cdot 1) - 1(1 cdot k - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - k cdot 1) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus:
As raízes da equação são (com multiplicidade 2) e . Isso significa que o determinante é zero para esses valores de . Para o sistema ser possível e determinado, queremos que o determinante seja diferente de zero. Logo, devemos excluir esses valores.
Resposta
Os valores de k in R setminus -2, 1 que tornam o sistema possível e determinado são todos os números reais exceto e . Ou seja,