Considere o sistema de equações lineares abaixo:
c k x+y+z=1 x+k y+z=1 x+y+k z=1
Encontre os valores de k in R tais que o sistema seja
Possível e determinado.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: k x + y + z = 1 x + k y + z = 1 x + y + k z = 1 , e . As equações são:
O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de que fazem esse sistema ser possível e determinado. Ou seja, queremos que esse sistema tenha uma única solução. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
Um sistema de equações lineares é possível e determinado quando o determinante dessa matriz é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

O determinante de uma matriz det(A) = k(k cdot k - 1 cdot 1) - 1(1 cdot k - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - k cdot 1) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Calculando cada termo separadamente:
  1. det(A) = (k^3 - k) + (-k + 1) + (1 - k) = k^3 - 3k + 2
Agora, somamos todos esses termos:

Passo 5

Para que o sistema seja possível e determinado, precisamos que k^3 - 3k + 2 neq 0 . Portanto, vamos resolver a equação:
k^3 - 3k + 2 = 0
Primeiro, encontramos os valores de que anulam o determinante:
Vamos fatorar essa equação.

Passo 6

Testando valores possíveis para 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 , percebemos que k^3 - 3k + 2 = (k - 1)(k^2 + k - 2) é uma raiz:
k^2 + k - 2 = (k + 2)(k - 1)
Então, podemos fatorar o polinômio usando k^3 - 3k + 2 = (k - 1)^2(k + 2) :
Agora, fatoramos o segundo termo:
Portanto,

Passo 7

As raízes da equação são (com multiplicidade 2) e . Isso significa que o determinante é zero para esses valores de . Para o sistema ser possível e determinado, queremos que o determinante seja diferente de zero. Logo, devemos excluir esses valores.

Resposta

Os valores de k in R setminus -2, 1 que tornam o sistema possível e determinado são todos os números reais exceto e . Ou seja,

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