Seja T: P2 P2 a transformação linear definida por
T(p(t))=p^prime(t)-2 p(t)
a) Calcule a matriz que representa T na base p1(t), p2(t), p3(t) com
p1(t)=1, p2(t)=t e p3(t)=t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a matriz da transformação linear na base dada. A gente tá lidando com polinômios de grau no máximo 2, e a transformação é definida por . Para montar a matriz, vamos aplicar em cada um dos polinômios da base e ver como eles ficam expressos nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar p1'(t) = 0 no primeiro polinômio da base, que é T(p1(t)) = p1'(t) - 2p1(t) = 0 - 2 cdot 1 = -2 .
Calculando a derivada:
-2 = -2 cdot 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2
Aplicando :
Agora, precisamos expressar na base :
Então, o primeiro vetor coluna da matriz será .

Passo 3

Agora, vamos aplicar p2'(t) = 1 no segundo polinômio da base, que é T(p2(t)) = p2'(t) - 2p2(t) = 1 - 2t .
Calculando a derivada:
1 - 2t = 1 cdot 1 - 2 cdot t + 0 cdot t^2
Aplicando :
Expressando na base :
Então, o segundo vetor coluna da matriz será .

Passo 4

Por último, vamos aplicar p3'(t) = 2t no terceiro polinômio da base, que é T(p3(t)) = p3'(t) - 2p3(t) = 2t - 2t^2 .
Calculando a derivada:
2t - 2t^2 = 0 cdot 1 + 2 cdot t - 2 cdot t^2
Aplicando :
Expressando na base :
Então, o terceiro vetor coluna da matriz será .

Resposta

A matriz que representa a transformação linear -2 & 1 & 0 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2 na base é:

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