Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
, onde,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício pra provar uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em
. A fórmula que a gente quer mostrar é:
Onde
é o coeficiente binomial. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor e como aplicá-la na função
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral da série de Taylor centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa função
. Primeiro, precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
E assim por diante. A gente vê que a
-ésima derivada avaliada em
é:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da série de Taylor:
Simplificando a fração, temos:
E aí, reconhecemos que
é justamente o coeficiente binomial
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que: