Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0. (1+x)^n=sumk=0^inftybinomnk x^k, onde, binomnk=n!k!(n-k)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício pra provar uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em (1+x)^n = sumk=0^infty binomnk x^k . A fórmula que a gente quer mostrar é:
Onde é o coeficiente binomial. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor e como aplicá-la na função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral da série de Taylor centrada em f(x) = sumk=0^infty f^(k)(0)k! x^k (também chamada de série de Maclaurin) é:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função f'(x) = n(1+x)^n-1 . Primeiro, precisamos calcular as derivadas de f'(0) = n e avaliá-las em f''(x) = n(n-1)(1+x)^n-2 .
Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão:
  • Primeira derivada:
f''(0) = n(n-1)
f'''(x) = n(n-1)(n-2)(1+x)^n-3
  • Segunda derivada:
f'''(0) = n(n-1)(n-2)
f^(k)(0) = n(n-1)(n-2)dots(n - k + 1) = n!(n - k)!
  • Terceira derivada:
E assim por diante. A gente vê que a -ésima derivada avaliada em é:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da série de Taylor:
f(x) = sumk=0^infty f^(k)(0)k! x^k = sumk=0^infty n!(n - k)!k! x^k
Simplificando a fração, temos:
sumk=0^infty n!k!(n - k)! x^k
E aí, reconhecemos que (1+x)^n = sumk=0^infty binomnk x^k é justamente o coeficiente binomial , então:

Resposta

Portanto, mostramos que:
(1+x)^n = sumk=0^infty binomnk x^k

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