Considere o sistema de equações lineares S=cx1+12 x2+13 x3+14 x4+15 x5=13760 12 x1+13 x2+14 x3+15 x4+16 x5=8760 13 x1+14 x2+15 x3+16 x4+17 x5=459420 14 x1+15 x2+16 x3+17 x4+18 x5=743840 15 x1+16 x2+17 x3+18 x4+19 x5=18792520
b) Resolva por Fatoração LU;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Fatoração LU. Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com um sistema com 5 equações e 5 incógnitas. A Fatoração LU é uma técnica que nos permite decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Isso facilita a resolução do sistema através de substituições sucessivas.

Passo 2

Vamos começar montando a matriz dos coeficientes A = 1 & 12 & 13 & 14 & 15 12 & 13 & 14 & 15 & 16 13 & 14 & 15 & 16 & 17 14 & 15 & 16 & 17 & 18 15 & 16 & 17 & 18 & 19 e o vetor dos termos constantes b = 13760 8760 459420 743840 18792520 .
Matriz :
Vetor :

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz em e . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e será uma matriz triangular superior. Começamos preenchendo com os coeficientes de .

Passo 4

Começamos a eliminação de Gauss para transformar m21 = a21a11 = 121 = 12 em uma matriz triangular superior m31 = a31a11 = 131 = 13 . Para isso, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal.
Primeiro, mantemos o primeiro elemento m41 = a41a11 = 141 = 14 . Em seguida, eliminamos os elementos m51 = a51a11 = 151 = 15 usando multiplicadores.
Calculando os multiplicadores para a primeira coluna:

Passo 5

Subtraímos a22 = a22 - m21 cdot a12 = 13 - 12 cdot 12 = 13 - 14 = 112 vezes a primeira linha da i-ésima linha para zerar os elementos abaixo de .
Por exemplo, para a segunda linha:
Repetimos esse processo para todas as linhas abaixo.

Passo 6

Continuamos o processo de eliminação para as próximas colunas. Em cada passo, selecionamos o pivô da próxima coluna e eliminamos os elementos abaixo dele usando multiplicadores semelhantes aos anteriores.
Esse processo resulta nas matrizes e , onde contém os multiplicadores usados nas eliminações e é a matriz triangular superior resultante.

Passo 7

Após obter e , resolvemos o sistema por substituição direta, já que é triangular inferior.
Depois, resolvemos por substituição retroativa, já que é triangular superior.

Passo 8

Após realizar as substituições, encontramos os valores de .

Resposta

x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4 x4 = 5 x5 = 6

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