Considere o sistema de equações lineares
b) Resolva por Fatoração LU;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Fatoração LU. Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com um sistema com 5 equações e 5 incógnitas. A Fatoração LU é uma técnica que nos permite decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Isso facilita a resolução do sistema através de substituições sucessivas.

Passo 2

Vamos começar montando a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes .
Matriz :
Vetor :

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz em e . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e será uma matriz triangular superior. Começamos preenchendo com os coeficientes de .

Passo 4

Começamos a eliminação de Gauss para transformar em uma matriz triangular superior . Para isso, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal.
Primeiro, mantemos o primeiro elemento . Em seguida, eliminamos os elementos usando multiplicadores.
Calculando os multiplicadores para a primeira coluna:

Passo 5

Subtraímos vezes a primeira linha da i-ésima linha para zerar os elementos abaixo de .
Por exemplo, para a segunda linha:
Repetimos esse processo para todas as linhas abaixo.

Passo 6

Continuamos o processo de eliminação para as próximas colunas. Em cada passo, selecionamos o pivô da próxima coluna e eliminamos os elementos abaixo dele usando multiplicadores semelhantes aos anteriores.
Esse processo resulta nas matrizes e , onde contém os multiplicadores usados nas eliminações e é a matriz triangular superior resultante.

Passo 7

Após obter e , resolvemos o sistema por substituição direta, já que é triangular inferior.
Depois, resolvemos por substituição retroativa, já que é triangular superior.

Passo 8

Após realizar as substituições, encontramos os valores de .

Resposta

Exercícios relacionados

A regra de Simpson utilizando quatro pontos consecutivos igualmente espaçados , e é dada por
Dados subintervalos igualmente espaçados, deduza a Regra de Simpson Generalizada para aproximar .
Justifique que a função
possui um zero no intervalo . Este zero é único?
Considere o sistema de equações lineares
c) Resolva o sistema de forma iterativa através dos métodos de Gauss-Seidel e GaussJacobi, considerando 6 casas decimais de aproximação na solução e :
c.1)verifique o critério de convergência nos dois métodos,
c.2)encontre a solução do sistema de equações lineares considerando
,
c.3)compare os resultados obtidos nos métodos Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi, qual foi o mais exato e por que?
Apresente todas as possíveis escolhas para o lanche de Leonardo, de maneira que ele possa comprar um salgado e uma bebida com o dinheiro que possui.