A regra 38 de Simpson utilizando quatro pontos consecutivos igualmente espaçados x0, x1, x2 e x3 é dada por
integralx0^x3 f(x) d x approx 38 h[f(x0)+3 f(x1)+3 f(x2)+f(x3)]
Dados 3 N subintervalos igualmente espaçados, deduza a Regra 38 de Simpson Generalizada para aproximar integralx0^x3 N f(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a Regra 3/8 de Simpson, que é uma técnica de integração numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas. Especificamente, ela utiliza quatro pontos igualmente espaçados para estimar a área sob a curva. Nosso objetivo é generalizar essa regra para 3N subintervalos igualmente espaçados, ou seja, estender a regra para mais pontos mantendo a mesma precisão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a regra original funciona e como aplicá-la repetidamente nos subintervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a Regra 3/8 de Simpson original. Ela aproxima a integral de integralx0^x3 f(x) , dx approx 38 h [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3) ] de a usando quatro pontos igualmente espaçados, onde é a largura de cada subintervalo. A fórmula é:
Aqui, . A regra atribui diferentes pesos aos pontos: os extremos ( e ) têm peso 1, e os pontos intermediários ( e ) têm peso 3.

Passo 3

Agora, queremos estender essa regra para 3N subintervalos. Para isso, vamos dividir o intervalo total em N grupos de 3 subintervalos cada. Cada grupo terá quatro pontos igualmente espaçados, aplicando a regra 3/8 de Simpson em cada um deles.
Vamos denominar os pontos como , onde a largura de cada subintervalo é .

Passo 4

Aplicando a regra 3/8 de Simpson em cada grupo de quatro pontos consecutivos integralx3k^x3k+3 f(x) , dx approx 38 h [ f(x3k) + 3f(x3k+1) + 3f(x3k+2) + f(x3k+3) ] para , temos:

Passo 5

Para encontrar a integral total integralx0^x3N f(x) , dx approx sumk=0^N-1 38 h [ f(x3k) + 3f(x3k+1) + 3f(x3k+2) + f(x3k+3) ] , somamos as aproximações de todos os N grupos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa soma. Observamos que, ao somar todos os N grupos, cada ponto interior é contado três vezes, exceto os pontos nas extremidades integralx0^x3N f(x) , dx approx 38 h [ f(x0) + 3 sumi=1^3N-1 f(xi) + f(x3N) ] e , que são contados apenas uma vez. Portanto, a soma total fica:

Resposta

Portanto, a Regra 3/8 de Simpson Generalizada para 3N subintervalos é dada por:
integralx0^x3N f(x) , dx approx 38 h [ f(x0) + 3 sumi=1^3N-1 f(xi) + f(x3N) ]
Onde é a largura de cada subintervalo.

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