A regra de Simpson utilizando quatro pontos consecutivos igualmente espaçados , e é dada por
Dados subintervalos igualmente espaçados, deduza a Regra de Simpson Generalizada para aproximar .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a Regra 3/8 de Simpson, que é uma técnica de integração numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas. Especificamente, ela utiliza quatro pontos igualmente espaçados para estimar a área sob a curva. Nosso objetivo é generalizar essa regra para 3N subintervalos igualmente espaçados, ou seja, estender a regra para mais pontos mantendo a mesma precisão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a regra original funciona e como aplicá-la repetidamente nos subintervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a Regra 3/8 de Simpson original. Ela aproxima a integral de de a usando quatro pontos igualmente espaçados, onde é a largura de cada subintervalo. A fórmula é:
Aqui, . A regra atribui diferentes pesos aos pontos: os extremos ( e ) têm peso 1, e os pontos intermediários ( e ) têm peso 3.
Passo 3
Agora, queremos estender essa regra para 3N subintervalos. Para isso, vamos dividir o intervalo total em N grupos de 3 subintervalos cada. Cada grupo terá quatro pontos igualmente espaçados, aplicando a regra 3/8 de Simpson em cada um deles.
Vamos denominar os pontos como , onde a largura de cada subintervalo é .
Passo 4
Aplicando a regra 3/8 de Simpson em cada grupo de quatro pontos consecutivos para , temos:
Passo 5
Para encontrar a integral total , somamos as aproximações de todos os N grupos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa soma. Observamos que, ao somar todos os N grupos, cada ponto interior é contado três vezes, exceto os pontos nas extremidades e , que são contados apenas uma vez. Portanto, a soma total fica:
Resposta
Portanto, a Regra 3/8 de Simpson Generalizada para 3N subintervalos é dada por: