Justifique que a função
possui um zero no intervalo
. Este zero é único?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função
tem pelo menos um zero no intervalo
e também verificar se esse zero é único. Para resolver isso, a gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário e analisar o comportamento da função usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo para ver se ela muda de sinal. Isso é importante porque o Teorema do Valor Intermediário diz que, se a função muda de sinal em um intervalo contínuo, então ela tem pelo menos um zero nesse intervalo.
Calcular
:
Calcular
:
Então,
e
. A função passa de negativa para positiva nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo
e toma valores de sinais diferentes nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Nossa função
é contínua em todo
porque é a soma de funções contínuas. Como
e
, que têm sinais diferentes, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
Agora, para ver se esse zero é único, precisamos analisar se a função é estritamente crescente ou decrescente no intervalo
. Se for estritamente monotônica, então ela só pode cruzar o eixo
uma vez.
Vamos calcular a derivada da função:
Passo 5
Vamos analisar
no intervalo
. Tanto
quanto
são funções sempre positivas para
. Portanto,
para todo
em
.
Isso significa que a função
está sempre aumentando nesse intervalo. Uma função que é estritamente crescente só pode cruzar o eixo
uma vez.
Resposta
A função
possui exatamente um zero no intervalo
.