Justifique que a função
possui um zero no intervalo . Este zero é único?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função tem pelo menos um zero no intervalo e também verificar se esse zero é único. Para resolver isso, a gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário e analisar o comportamento da função usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo para ver se ela muda de sinal. Isso é importante porque o Teorema do Valor Intermediário diz que, se a função muda de sinal em um intervalo contínuo, então ela tem pelo menos um zero nesse intervalo.
Calcular :
Calcular :
Então, e . A função passa de negativa para positiva nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo e toma valores de sinais diferentes nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto em onde .
Nossa função é contínua em todo porque é a soma de funções contínuas. Como e , que têm sinais diferentes, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em tal que .

Passo 4

Agora, para ver se esse zero é único, precisamos analisar se a função é estritamente crescente ou decrescente no intervalo . Se for estritamente monotônica, então ela só pode cruzar o eixo uma vez.
Vamos calcular a derivada da função:

Passo 5

Vamos analisar no intervalo . Tanto quanto são funções sempre positivas para . Portanto, para todo em .
Isso significa que a função está sempre aumentando nesse intervalo. Uma função que é estritamente crescente só pode cruzar o eixo uma vez.

Resposta

A função possui exatamente um zero no intervalo .

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