Considere um sistema formado por quatro partículas puntiformes, que se encontram em repouso no plano XY. As massas e vetores posição das partículas são listados a seguir:
Partícula 1: m1=5,08 kg, r1=(4,89 i-1,94 j) m
Partícula 2: m2=3,81 kg, r2=(-4,52 i-1,97 j) m
Partícula 3: m3=4,27 kg, r3=(2,87 i+4,33 j) m
Partícula 4: m4=5,81 kg, r4=(-4,93 i+2,86 j) m
Calcule o módulo do vetor posição do centro de massa do sistema formado pelas quatro partículas. Expresse a sua resposta em metros, com três algarismos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com quatro partículas puntiformes que estão paradas no plano XY. Cada partícula tem uma massa e uma posição específica. Nosso objetivo é encontrar o módulo do vetor posição do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar saber como calcular o centro de massa de um sistema de partículas e depois encontrar a magnitude desse vetor posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa de um sistema de partículas é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas. A fórmula para calcular o centro de massa RCM = ( sum mi xisum mi, sum mi yisum mi ) em coordenadas cartesianas é:
Onde é a massa da partícula e são as coordenadas da posição da partícula .

Passo 3

Vamos calcular a soma das massas do sistema:
sum mi = m1 + m2 + m3 + m4 = 5,08,kg + 3,81,kg + 4,27,kg + 5,81,kg
sum mi = 18,97,kg

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma das massas multiplicadas pelas coordenadas sum mi xi = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 e = 5,08 times 4,89 + 3,81 times (-4,52) + 4,27 times 2,87 + 5,81 times (-4,93) :
Para = 24,8172 - 17,2392 + 12,2429 - 28,6473 :
= -8,8264
sum mi yi = m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 + m4 y4
= 5,08 times (-1,94) + 3,81 times (-1,97) + 4,27 times 4,33 + 5,81 times 2,86
= -9,8472 - 7,5177 + 18,4711 + 16,6166
Para = 17,702 :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa dividindo essas somas pelas massas totais:
Para xCM = sum mi xisum mi = -8,826418,97 approx -0,4649,m :
yCM = sum mi yisum mi = 17,70218,97 approx 0,9325,m
Para :

Passo 6

Agora que temos as coordenadas do centro de massa |v| = raizvx^2 + vy^2 , vamos calcular o módulo desse vetor posição. A magnitude de um vetor |RCM| = raiz(-0,4649)^2 + (0,9325)^2 é dada por:
|RCM| = raiz0,2161 + 0,8693
Aplicando isso ao nosso centro de massa:
|RCM| = raiz1,0854 approx 1,0423,m

Resposta

O módulo do vetor posição do centro de massa do sistema é aproximadamente 1,04 metros.

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