Considere um sistema formado por quatro partículas puntiformes, que se encontram em repouso no plano XY. As massas e vetores posição das partículas são listados a seguir:
Partícula 1: m1=5,08 kg, r1=(4,89 i-1,94 j) m
Partícula 2: m2=3,81 kg, r2=(-4,52 i-1,97 j) m
Partícula 3: m3=4,27 kg, r3=(2,87 i+4,33 j) m
Partícula 4: m4=5,81 kg, r4=(-4,93 i+2,86 j) m
Calcule a direção do vetor posição do centro de massa do sistema formado pelas quatro partículas. Expresse a sua resposta em graus, com três algarismos significativos.
OBS: reafirmando o que vocês têm que saber a essa altura do campeonato: o ângulo da direção é o ângulo que vai da horizontal positiva até a base do vetor (não a ponta).
Se esse ângulo é medido no sentido ANTI-HORÁRIO (para cima da horizontal positiva), ele é um ângulo POSITIVO.
Se esse ângulo é medido no sentido HORÁRIO (para baixo da horizontal positiva), ele é um ângulo NEGATIVO.
Só assim podemos determinar sem ambiguidade a direção e sentido do vetor.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema de quatro partículas no plano XY. A gente precisa encontrar a direção do vetor posição do centro de massa desse sistema, ou seja, o ângulo que o vetor do centro de massa faz com a horizontal positiva (o eixo X). Para isso, vamos usar conceitos de centro de massa e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a posição do centro de massa ( rcm = sumi=1^n mi risumi=1^n mi ) de um sistema de partículas. A fórmula é:
Onde:
  • é a massa da partícula
  • é o vetor posição da partícula
  • é o número total de partículas
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o numerador da fórmula, que é a soma das massas multiplicadas pelas posições de cada partícula:
sum mi ri = m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 + m4 r4
Substituindo os valores fornecidos:
m1 r1 &= 5,08 times (4,89,i - 1,94,j) = (24,8172,i - 9,8632,j) m2 r2 &= 3,81 times (-4,52,i - 1,97,j) = (-17,2372,i - 7,5097,j) m3 r3 &= 4,27 times (2,87,i + 4,33,j) = (12,2529,i + 18,4611,j) m4 r4 &= 5,81 times (-4,93,i + 2,86,j) = (-28,6333,i + 16,6066,j)

Passo 4

Agora, somamos todas essas contribuições:
sum mi ri &= (24,8172 - 17,2372 + 12,2529 - 28,6333),i + (-9,8632 - 7,5097 + 18,4611 + 16,6066),j &= (-8,8004),i + (17,6948),j

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a soma das massas:
sum mi = m1 + m2 + m3 + m4 = 5,08 + 3,81 + 4,27 + 5,81 = 18,97,kg

Passo 6

Agora, podemos encontrar o vetor posição do centro de massa:
rcm = (-8,8004,i + 17,6948,j)18,97 approx (-0,4637,i + 0,9315,j),m
Isso significa que as coordenadas do centro de massa são e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a direção desse vetor posição, ou seja, o ângulo theta = arctan(ycmxcm) que ele forma com a horizontal positiva. Para isso, usamos a função tangente inversa:
theta = arctan(0,9315-0,4637) approx arctan(-2,008) approx -63,46^circ
Substituindo os valores:

Resposta

A direção do vetor posição do centro de massa é aproximadamente .

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