Considere um sistema formado por quatro partículas puntiformes, que se encontram em repouso no plano XY. As massas e vetores posição das partículas são listados a seguir:
Partícula 1:
Partícula 2:
Partícula 3:
Partícula 4:
Calcule a direção do vetor posição do centro de massa do sistema formado pelas quatro partículas. Expresse a sua resposta em graus, com três algarismos significativos.
OBS: reafirmando o que vocês têm que saber a essa altura do campeonato: o ângulo da direção é o ângulo que vai da horizontal positiva até a base do vetor (não a ponta).
Se esse ângulo é medido no sentido ANTI-HORÁRIO (para cima da horizontal positiva), ele é um ângulo POSITIVO.
Se esse ângulo é medido no sentido HORÁRIO (para baixo da horizontal positiva), ele é um ângulo NEGATIVO.
Só assim podemos determinar sem ambiguidade a direção e sentido do vetor.
Resposta:
Partícula 1:
Partícula 2:
Partícula 3:
Partícula 4:
Calcule a direção do vetor posição do centro de massa do sistema formado pelas quatro partículas. Expresse a sua resposta em graus, com três algarismos significativos.
OBS: reafirmando o que vocês têm que saber a essa altura do campeonato: o ângulo da direção é o ângulo que vai da horizontal positiva até a base do vetor (não a ponta).
Se esse ângulo é medido no sentido ANTI-HORÁRIO (para cima da horizontal positiva), ele é um ângulo POSITIVO.
Se esse ângulo é medido no sentido HORÁRIO (para baixo da horizontal positiva), ele é um ângulo NEGATIVO.
Só assim podemos determinar sem ambiguidade a direção e sentido do vetor.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema de quatro partículas no plano XY. A gente precisa encontrar a direção do vetor posição do centro de massa desse sistema, ou seja, o ângulo que o vetor do centro de massa faz com a horizontal positiva (o eixo X). Para isso, vamos usar conceitos de centro de massa e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a posição do centro de massa (
) de um sistema de partículas. A fórmula é:
Onde:
-
é a massa da partícula -
é o vetor posição da partícula -
é o número total de partículas
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o numerador da fórmula, que é a soma das massas multiplicadas pelas posições de cada partícula:
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 4
Agora, somamos todas essas contribuições:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a soma das massas:
Passo 6
Agora, podemos encontrar o vetor posição do centro de massa:
Isso significa que as coordenadas do centro de massa são
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a direção desse vetor posição, ou seja, o ângulo
que ele forma com a horizontal positiva. Para isso, usamos a função tangente inversa:
Substituindo os valores:
Resposta
A direção do vetor posição do centro de massa é aproximadamente
.