[2] Um longo cilindro de raio
constituído de material de permissividade elétrica & é colocado em um campo elétrico constante. Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos internos e externos ao cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente calcular o potencial elétrico e o campo elétrico tanto dentro quanto fora de um cilindro longo de raio $ a $, que é feito de um material com permissividade elétrica $ \epsilon $, quando ele está colocado em um campo elétrico constante. A matéria que a gente vai usar aqui é Eletrostática, especificamente sobre campos e potenciais em geometrias cilíndricas e materiais dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cenário: temos um cilindro infinito com raio $ a $ e permissividade elétrica $ \epsilon $, colocado em um campo elétrico constante $ \mathbf{E}_0 $ que, vamos supor, está na direção $ x $. Nosso objetivo é encontrar como esse campo e o potencial elétrico se comportam nos diferentes pontos do espaço — tanto dentro quanto fora do cilindro.
Passo 3
Para resolver isso, a gente vai usar a equação de Laplace para o potencial elétrico $ V $, que em coordenadas cilíndricas (já que estamos lidando com um cilindro) é:
Isso significa que o potencial satisfaz a equação de Laplace no espaço onde não há cargas livres.
Passo 4
Vamos resolver a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, assumindo que o potencial $ V $ depende apenas da distância radial $ r $ e do ângulo $ \theta
r > a
r < a $) pode ser escrita como séries de potências e cossenos:
Para $ r > a $:
Para $ r < a $:
Aqui, $ E_0 $ é a intensidade do campo elétrico externo, $ E_{in} $ é a intensidade do campo dentro do cilindro, e $ C $ é uma constante que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de contorno na superfície do cilindro ($ r = a $). O que isso significa? Que o potencial elétrico deve ser contínuo na fronteira entre os dois meios (dentro e fora do cilindro), e que a componente normal do deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ também deve ser contínua.
Portanto, temos:
- Continuidad do potencial:
- Continuidad da componente normal do deslocamento elétrico:
Passo 6
Vamos igualar os potenciais na superfície:
Simplificando, podemos dividir ambos os lados por $ \cos\theta $ e resolver para $ C $:
Passo 7
Agora, vamos usar a continuidade da componente normal do deslocamento elétrico:
Sabemos que $ \mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E} $. Então, temos:
Como $ E_{externo}(a) = E_0 - \frac{C}{a^2} $ e $ E_{interno}(a) = E_{in} $, substituímos:
Usando o valor de $ C $ que encontramos no Passo 6:
Ah, parece que precisamos corrigir algo! Vamos refazer esse passo para evitar confusões.
Passo 8
Retomando, temos:
E sabemos que $ C = a^2 (E_0 - E_{in}) $, então substituindo $ C $:
Isso implica que $ E_{in} = 0 $ ou $ \epsilon = \epsilon_0 $. Como o cilindro tem uma permissividade diferente, $ E_{in} = 0 $.
Passo 9
Com $ E_{in} = 0 $, voltamos ao valor de $ C $:
Agora podemos escrever as expressões finais para os potenciais.
Passo 10
Substituindo $ E_{in} = 0 $ e $ C = a^2 E_0 $ nas expressões dos potenciais:
Para $ r > a $:
Para $ r < a $:
Resposta
Portanto, o potencial elétrico e o campo elétrico são:
Para $ r < a $ (dentro do cilindro):
Para $ r > a $ (fora do cilindro):