Considere um sistema com uma função de transferência de malha aberta G(s) H(s)=(s+3)(s+5)(s+2)(s+4) Baseado no critério de Nyquist determine as condições para que este sistema seja estável. Explique por que. (3)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que precisamos aqui é usar o Critério de Nyquist, que faz parte da Teoria de Controle, para determinar as condições de estabilidade de um sistema com a função de transferência de malha aberta . Para isso, vamos precisar entender os polos e zeros dessa função e como eles influenciam a estabilidade do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos e zeros da função de transferência . Os zeros são os valores de que tornam o numerador igual a zero, e os polos são os valores de que tornam o denominador igual a zero.
  • Zeros: Resolvendo :
  • Polos: Resolvendo :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Critério de Nyquist. Esse critério nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema de malha fechada analisando a função de malha aberta . A ideia principal é observar quantas vezes o diagrama de Nyquist envolve o ponto crítico no plano complexo.
Para isso, precisamos verificar:
  1. O número de polos de que estão no semiplano direito (RHP - Right Half Plane).
  2. O número de encirclements do ponto pelo diagrama de Nyquist.
Um sistema é estável se o número de encirclements do ponto for igual ao número de polos de que estão no RHP.

Passo 4

Vamos analisar os polos de . Observamos que tem polos em e , ambos no semiplano esquerdo (LHP - Left Half Plane). Isso significa que não há polos de no RHP.
Como não há polos no RHP, para o sistema ser estável, o diagrama de Nyquist não deve encerrar o ponto . Ou seja, o diagrama não deve dar nenhuma volta completa ao redor de .

Resposta

Portanto, as condições para que o sistema seja estável, de acordo com o Critério de Nyquist, são que todos os polos de estejam no semiplano esquerdo e o diagrama de Nyquist não encircule o ponto . Como nesse caso os polos estão todos no LHP e não há encirclement de , o sistema é estável.

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