Determine a faixa de valores do ganho para a estabilidade de um sistema cuja função de transferência de malha aberta é
G(s) H(s)=K(s+2)(s^2+2 s+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinarmos a faixa de valores do ganho G(s) H(s) = K(s+2)(s^2+2 s+2) que garante a estabilidade de um sistema cuja função de transferência de malha aberta é:
Para resolver isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, uma técnica muito útil para analisar a estabilidade de sistemas de controle sem precisar calcular os polos diretamente. Vamos precisar construir a tabela de Routh e verificar para quais valores de todas as entradas da primeira coluna dessa tabela são positivas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica do sistema em malha fechada. A equação característica é dada por:
1 + G(s) H(s) = 0
Substituindo 1 + K(s+2)(s^2+2 s+2) = 0 :
(s+2)(s^2+2s+2) + K = 0
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por (s+2)(s^2+2s+2) = s^3 + 4s^2 + 6s + 4 para eliminar o denominador:
s^3 + 4s^2 + 6s + (4 + K) = 0
Vamos expandir o primeiro termo:
Então, a equação característica completa fica:

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de Routh para essa equação característica:
s^3 + 4s^2 + 6s + (4 + K) = 0
A tabela de Routh para uma equação cúbica c|cc s^3 & 1 & 6 s^2 & 4 & 4 + K s^1 & (4 times 6) - (1 times (4 + K))4 & 0 s^0 & 4 + K & é organizada assim:
(4 times 6) - (1 times (4 + K))4 = 24 - 4 - K4 = 20 - K4 = 5 - K4
Vamos calcular a entrada na linha c|cc s^3 & 1 & 6 s^2 & 4 & 4 + K s^1 & 5 - K4 & 0 s^0 & 4 + K & :
Então, a tabela completa fica:

Passo 4

Para o sistema ser estável, todas as entradas da primeira coluna da tabela de Routh devem ser positivas. Vamos analisar cada uma delas:
  1. Primeira linha ( 5 - K4 > 0 implies K4 < 5 implies K < 20 ): O coeficiente é 1, que já é positivo.
  2. Segunda linha ( 4 + K > 0 implies K > -4 ): O coeficiente é 4, também positivo.
  3. Terceira linha ( ): A entrada é . Precisamos que isso seja positivo:
  4. Última linha ( ): A constante é . Para ser positivo:
Mas como representa um ganho positivo no contexto de sistemas de controle, geralmente consideramos apenas .

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
0 < K < 20
Isso significa que para todos os valores de maiores que 0 e menores que 20, o sistema será estável.

Resposta

A faixa de valores do ganho 0 < K < 20 que garante a estabilidade do sistema é:

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