Determine a faixa de valores do ganho para a estabilidade de um sistema cuja função de transferência de malha aberta é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinarmos a faixa de valores do ganho
que garante a estabilidade de um sistema cuja função de transferência de malha aberta é:
Para resolver isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, uma técnica muito útil para analisar a estabilidade de sistemas de controle sem precisar calcular os polos diretamente. Vamos precisar construir a tabela de Routh e verificar para quais valores de
todas as entradas da primeira coluna dessa tabela são positivas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica do sistema em malha fechada. A equação característica é dada por:
Substituindo
:
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por
para eliminar o denominador:
Vamos expandir o primeiro termo:
Então, a equação característica completa fica:
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de Routh para essa equação característica:
A tabela de Routh para uma equação cúbica
é organizada assim:
Vamos calcular a entrada na linha
:
Então, a tabela completa fica:
Passo 4
Para o sistema ser estável, todas as entradas da primeira coluna da tabela de Routh devem ser positivas. Vamos analisar cada uma delas:
-
Primeira linha (
): O coeficiente é 1, que já é positivo. -
Segunda linha (
): O coeficiente é 4, também positivo. -
Terceira linha (
): A entrada é . Precisamos que isso seja positivo: -
Última linha (
): A constante é . Para ser positivo:
Mas como
representa um ganho positivo no contexto de sistemas de controle, geralmente consideramos apenas
.
Passo 5
Resumindo as condições que encontramos:
Isso significa que para todos os valores de
maiores que 0 e menores que 20, o sistema será estável.
Resposta
A faixa de valores do ganho
que garante a estabilidade do sistema é: