Considere o sistema
Faça um esboço das trajetórias das soluções para
suficientemente grande.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais:
O objetivo é fazer um esboço das trajetórias das soluções desse sistema para
suficientemente grande. Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais com termos forçados por funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e como os termos periódicos afetam o comportamento das soluções a longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o sistema em duas partes: a parte homogênea (sem os termos com
) e a parte particular (que inclui esses termos). A parte homogênea é:
Resolvendo essa parte, encontramos as soluções naturais do sistema, que dependem dos autovalores da matriz associada. A matriz do sistema homogêneo é:
Vamos calcular os autovalores
resolvendo o determinante
.
Passo 3
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, os autovalores são:
Como ambos os autovalores são reais e negativos, o sistema homogêneo possui soluções que tendem ao zero à medida que
aumenta. Isso significa que, sem a parte forçada, as trajetórias se aproximariam do ponto de equilíbrio em (0,0).
Passo 4
Agora, vamos considerar a parte particular do sistema, ou seja, os termos que incluem
. Como esses termos são periódicos, vamos procurar uma solução particular periódica também. Assumimos que as soluções particulares têm a forma:
Onde
,
,
e
são constantes que vamos determinar substituindo essas expressões nas equações diferenciais originais.
Passo 5
Substituindo
e
nas equações do sistema:
Para
:
E igualando à primeira equação do sistema:
Simplificando:
Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes:
Simplificando a segunda equação:
Fazendo o mesmo para a segunda equação diferencial do sistema, encontramos mais relações entre os coeficientes, resolvendo tudo junto para encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 6
Após resolver o sistema de equações para
,
,
e
, obteremos a solução particular
e
. A solução geral do sistema será a soma da solução homogênea e da solução particular:
Como as soluções homogêneas tendem a zero quando
aumenta (porque os autovalores são negativos), para
suficientemente grande, o comportamento do sistema será dominado pela solução particular periódica.
Resposta
Para
suficientemente grande, as trajetórias das soluções do sistema tenderão a seguir um movimento periódico influenciado pelo termo
. Portanto, o esboço das trajetórias mostrará oscilações periódicas ao redor do ponto de equilíbrio, refletindo a influência contínua das forças periódicas no sistema.
Exercícios relacionados
Determine uma solução particular para os sistemas:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Sejam
deriváveis em
. Prove que se
e
forem linearmente dependentes, então o wronskiano de
e
será identicamente nulo em
.