Determine uma solução particular para os sistemas:
a) { x' = -y + 2 y' = x + 1 }
b) { dot(x) = x - 2y + e^(2t) dot(y) = x + y - 3e^(2t) }
c) dot(x) = y + t, dot(y) = x - 2
d) { dot(x) = -2y; dot(y) = -x + 3 cos(t) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como as variáveis e mudam ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para esse sistema. Isso significa que queremos descobrir valores específicos de e que satisfaçam as equações sem considerar todas as possíveis soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o sistema que nos foi dado:
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo, e é a derivada de . Uma solução particular constante ocorre quando e não mudam com o tempo, ou seja, e .

Passo 3

Vamos então definir e e resolver o sistema de equações resultante:
Da primeira equação, conseguimos diretamente:
Da segunda equação:

Resposta

A solução particular do sistema é:

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