Determine uma solução particular para os sistemas:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como as variáveis e mudam ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para esse sistema. Isso significa que queremos descobrir valores específicos de e que satisfaçam as equações sem considerar todas as possíveis soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o sistema que nos foi dado:
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo, e é a derivada de . Uma solução particular constante ocorre quando e não mudam com o tempo, ou seja, e .

Passo 3

Vamos então definir e e resolver o sistema de equações resultante:
Da primeira equação, conseguimos diretamente:
Da segunda equação:

Resposta

A solução particular do sistema é:

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As trajetórias são elipses? Justifique.
a)
b)
Calcule as integrais abaixo:
Mostre que a curva é lisa (suave). Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva, com , em que a reta tangente é paralela ao plano .
Considere o sistema
Faça um esboço das trajetórias das soluções para suficientemente grande.