Mostre que a curva é lisa (suave). Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva, com , em que a reta tangente é paralela ao plano .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que mostrar que a curva é lisa, ou seja, suave. Depois, precisamos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no intervalo que é paralela ao plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial para verificar a suavidade da curva e depois encontrar a reta tangente usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a curva é lisa. Uma curva é lisa se sua derivada, ou vetor velocidade, nunca for zero. Vamos calcular a derivada de :
Agora, verificamos se nunca é o vetor zero. Observando cada componente:
  • e nunca são ambos zero simultaneamente, já que e não são zero ao mesmo tempo.
  • é sempre positivo.
Portanto, para todo , o que confirma que a curva é lisa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva. Esse vetor é simplesmente a derivada :
Esse vetor indica a direção da reta tangente em cada ponto da curva.

Passo 4

Queremos que a reta tangente seja paralela ao plano . Para isso, a direção da reta tangente deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é .
A condição para a ortogonalidade é que o produto escalar entre e seja zero:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso nos dá a equação:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Sabemos que quando ou . Porém, como , a solução válida é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta tangente no ponto correspondente a .
Primeiro, encontramos o ponto na curva:
O vetor tangente nesse ponto é:
Então, as equações paramétricas da reta tangente são:
onde é o parâmetro da reta.

Resposta

A reta tangente à curva no ponto que é paralela ao plano possui as seguintes equações paramétricas:
onde .

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