Considere um sistema linear
qualquer. Suponhamos que o processo de escalonamento de sua matriz completa é dado por
Com base nas informações acima, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, aoresentando breve justificativa.
(a) Se o sistema linear
é compatível e indeterminado, então a matriz completa
possui uma linha de zeros.
(a) Se o sistema linear
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear da forma
, e a matriz aumentada desse sistema,
, foi escalonada até ficar na forma
. A pergunta é para dizer se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
(a) Se o sistema linear
é compatível e indeterminado, então a matriz aumentada
possui uma linha de zeros.
Vamos precisar entender alguns conceitos de sistemas lineares e como a escalonagem da matriz funciona.
Passo 2
Primeiro, sistemas compatíveis são aqueles que têm pelo menos uma solução. Dentro dos sistemas compatíveis, temos dois tipos:
- Determinado: Tem exatamente uma solução.
- Indeterminado: Tem infinitas soluções.
Quando o sistema é indeterminado, significa que há variáveis livres, ou seja, podemos atribuir valores livres a algumas variáveis e expressar as outras em termos delas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz escalonada
. Quando escalonamos uma matriz aumentada, estamos colocando ela em uma forma onde fica mais fácil ver quais variáveis são básicas e quais são livres.
Se o sistema for indeterminado, isso geralmente acontece porque há menos equações independentes do que incógnitas. Na matriz escalonada, isso se reflete aparecendo linhas de zeros na parte da matriz dos coeficientes (a parte de
), indicando que não há uma equação que envolva certas variáveis.
Passo 4
Então, se o sistema é compatível e indeterminado, de fato, a matriz escalonada
terá pelo menos uma linha inteira de zeros na parte da matriz dos coeficientes. Isso confirma que há variáveis livres, o que leva a infinitas soluções.
Resposta
Verdadeira.
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