Considere um sistema linear A x=b qualquer. Suponhamos que o processo de escalonamento de sua matriz completa é dado por
[A mid b] sim cdots sim[E mid b^prime]
Com base nas informações acima, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, aoresentando breve justificativa.
(b) Se a matriz completa [E mid b^prime] possui uma linha de zeros, então o sistema linear A x=b é compatível e indeterminado.

Passo 1

Então, a gente tem um sistema linear e, após fazer o escalonamento da matriz aumentada , acabamos com . A questão quer saber se, se essa matriz escalonada tiver uma linha de zeros, o sistema é compatível (ou seja, tem solução) e indeterminado (tem infinitas soluções). Vamos ver como resolver isso usando conceitos de sistemas lineares e escalonamento de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma linha de zeros na matriz aumentada 0 0 dots 0 | 0 . Uma linha de zeros é algo assim:
Essa linha representa a equação , que é sempre verdadeira. Isso significa que essa linha não adiciona nenhuma restrição ao sistema, ou seja, não afeta a existência de soluções.

Passo 3

Agora, mesmo que tenhamos uma linha de zeros, precisamos verificar se o sistema tem soluções únicas ou infinitas. Para isso, olhamos para o número de pivôs (elementos não nulos nas colunas principais) em relação ao número de variáveis. Se o número de pivôs for igual ao número de variáveis, o sistema tem uma solução única. Se o número de pivôs for menor que o número de variáveis, o sistema tem infinitas soluções porque teremos variáveis livres.

Passo 4

A afirmação diz que, se existe uma linha de zeros, o sistema é compatível e indeterminado. Mas na verdade, uma linha de zeros só garante que o sistema é compatível (tem pelo menos uma solução). Não necessariamente ele é indeterminado. Se, além da linha de zeros, o número de pivôs ainda for igual ao número de variáveis, o sistema terá uma solução única, ou seja, será determinado.

Resposta

Falsa. Uma linha de zeros garante que o sistema é compatível, mas ele pode ou não ser indeterminado dependendo do número de pivôs.

Exercícios relacionados