Considere um sistema linear
qualquer. Suponhamos que o processo de escalonamento de sua matriz completa é dado por
Com base nas informações acima, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, aoresentando breve justificativa.
(b) Se a matriz completa
possui uma linha de zeros, então o sistema linear
é compatível e indeterminado.
(b) Se a matriz completa
Passo 1
Então, a gente tem um sistema linear
e, após fazer o escalonamento da matriz aumentada
, acabamos com
. A questão quer saber se, se essa matriz escalonada tiver uma linha de zeros, o sistema é compatível (ou seja, tem solução) e indeterminado (tem infinitas soluções). Vamos ver como resolver isso usando conceitos de sistemas lineares e escalonamento de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma linha de zeros na matriz aumentada
. Uma linha de zeros é algo assim:
Essa linha representa a equação
, que é sempre verdadeira. Isso significa que essa linha não adiciona nenhuma restrição ao sistema, ou seja, não afeta a existência de soluções.
Passo 3
Agora, mesmo que tenhamos uma linha de zeros, precisamos verificar se o sistema tem soluções únicas ou infinitas. Para isso, olhamos para o número de pivôs (elementos não nulos nas colunas principais) em relação ao número de variáveis. Se o número de pivôs for igual ao número de variáveis, o sistema tem uma solução única. Se o número de pivôs for menor que o número de variáveis, o sistema tem infinitas soluções porque teremos variáveis livres.
Passo 4
A afirmação diz que, se existe uma linha de zeros, o sistema é compatível e indeterminado. Mas na verdade, uma linha de zeros só garante que o sistema é compatível (tem pelo menos uma solução). Não necessariamente ele é indeterminado. Se, além da linha de zeros, o número de pivôs ainda for igual ao número de variáveis, o sistema terá uma solução única, ou seja, será determinado.
Resposta
Falsa. Uma linha de zeros garante que o sistema é compatível, mas ele pode ou não ser indeterminado dependendo do número de pivôs.