Determine para quais valores de h, k in R o sistema de equações lineares
r x1-3 x2=1 2 x1-h x2=k
é:
(b) compatível e determinado;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas:
r x1 - 3x2 = 1 2x1 - h x2 = k
O conteúdo aqui envolve sistemas de equações lineares e queremos descobrir para quais valores de e o sistema é compatível e determinado. Isso significa que o sistema tem exatamente uma solução única.
Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a condição de existência de uma solução única, que envolve o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Ela é formada pelos números que multiplicam as incógnitas nas equações:
A = 1 & -3 2 & -h
A gente precisa calcular o determinante dessa matriz. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se o sistema tem solução única. Se o determinante for diferente de zero, o sistema é compatível e determinado.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = (1)(-h) - (-3)(2) = -h + 6 = 6 - h :
Então, o determinante é .

Passo 4

Para o sistema ser compatível e determinado, o determinante deve ser diferente de zero:
6 - h neq 0
Resolvendo essa inequação:
6 neq h
Ou seja, não pode ser igual a 6.

Passo 5

Então, para qualquer valor de diferente de 6, o sistema terá exatamente uma solução única, ou seja, será compatível e determinado. O valor de não interfere nessa condição, ele pode ser qualquer número real.

Resposta

O sistema é compatível e determinado para todos os valores de e reais, exceto quando . Ou seja, para e qualquer .

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