Considere o sistema , onde .
(b) Por escalonamento, determine e de modo que o sistema é impossível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três incógnitas e queremos descobrir os valores de e que fazem esse sistema não ter solução. Para isso, vamos usar o método de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss. Isso vai nos ajudar a simplificar o sistema e identificar as condições que tornam o sistema impossível.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
Passo 3
Agora, vamos começar a escalonar a matriz para deixá-la em forma triangular. Primeiro, queremos um 1 na primeira posição da primeira linha. Como já temos um 2 lá, podemos trocar as linhas ou dividir a primeira linha por 2. Para simplificar, vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Passo 4
Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 (na coluna 1). Fazemos isso usando operações nas linhas:
Linha 2:
Linha 3:
Após essas operações:
Passo 5
Vamos continuar escalonando. Agora, queremos um 1 na posição (2,2). Multiplicamos a segunda linha por -1:
Agora, vamos zerar o elemento abaixo desse 1 na coluna 2:
Linha 3:
Isso resulta em:
Passo 6
Para que o sistema seja impossível, devemos ter uma equação que não faz sentido, como , onde . Olhando para a terceira linha:
Para que não tenha solução, precisamos que e .
Passo 7
Resolvendo as condições:
Resposta
Os valores que tornam o sistema impossível são e qualquer diferente de .