Considere o sistema ll2 x-3 y & =-1 x-y+3 z & =2 -2 x+a z & =b, onde a, b in R.
(b) Por escalonamento, determine a e b de modo que o sistema é impossível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três incógnitas e queremos descobrir os valores de e que fazem esse sistema não ter solução. Para isso, vamos usar o método de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss. Isso vai nos ajudar a simplificar o sistema e identificar as condições que tornam o sistema impossível.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
2 & -3 & 0 & | & -1 1 & -1 & 3 & | & 2 -2 & 0 & a & | & b

Passo 3

Agora, vamos começar a escalonar a matriz para deixá-la em forma triangular. Primeiro, queremos um 1 na primeira posição da primeira linha. Como já temos um 2 lá, podemos trocar as linhas ou dividir a primeira linha por 2. Para simplificar, vamos trocar a primeira linha com a segunda:
1 & -1 & 3 & | & 2 2 & -3 & 0 & | & -1 -2 & 0 & a & | & b

Passo 4

Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 (na coluna 1). Fazemos isso usando operações nas linhas:
  • Linha 2: 1 & -1 & 3 & | & 2 0 & -1 & -6 & | & -5 0 & -2 & a + 6 & | & b + 4
  • Linha 3:
Após essas operações:

Passo 5

Vamos continuar escalonando. Agora, queremos um 1 na posição (2,2). Multiplicamos a segunda linha por -1:
1 & -1 & 3 & | & 2 0 & 1 & 6 & | & 5 0 & -2 & a + 6 & | & b + 4
Agora, vamos zerar o elemento abaixo desse 1 na coluna 2:
  • Linha 3: 1 & -1 & 3 & | & 2 0 & 1 & 6 & | & 5 0 & 0 & a + 18 & | & b + 14
Isso resulta em:

Passo 6

Para que o sistema seja impossível, devemos ter uma equação que não faz sentido, como 0x + 0y + (a + 18)z = b + 14 , onde . Olhando para a terceira linha:
Para que não tenha solução, precisamos que e .

Passo 7

Resolvendo as condições:

Resposta

Os valores que tornam o sistema impossível são e qualquer diferente de .

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