Considere o sistema ll2 x-3 y & =-1 x-y+3 z & =2 -2 x+a z & =b, onde a, b in R.
(a) Para quais valores de a tem-se SPD (apresente os cálculos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O objetivo aqui é descobrir para quais valores de o sistema tem uma solução única, ou seja, é um Sistema Possível e Determinado (SPD). Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. As equações são:
2x - 3y = -1 x - y + 3z = 2 -2x + a z = b
A matriz dos coeficientes fica assim:
A = 2 & -3 & 0 1 & -1 & 3 -2 & 0 & a

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)) . O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = 2((-1)(a) - (3)(0)) - (-3)((1)(a) - (3)(-2)) + 0((1)(0) - (-1)(-2))
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar os cálculos:
det(A) = 2(-a) - (-3)(a + 6) + 0
det(A) = -2a + 3(a + 6)
det(A) = -2a + 3a + 18
det(A) = a + 18

Passo 5

Para o sistema ter uma solução única, o determinante não pode ser zero:
a + 18 neq 0
a neq -18

Resposta

O sistema tem uma solução única (SPD) para todo valor de diferente de . Ou seja, para .

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