Considere o sistema ll2 x-3 y & =-1 x-y+3 z & =2 -2 x+a z & =b, onde a, b in R.
© Para quais valores de a e b o sistema é possível e indeterminado? Apresente o conjunto solução do sistema neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . Os coeficientes das equações envolvem os parâmetros e , que são números reais. A gente precisa descobrir para quais valores de e esse sistema será possível e indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para fazer isso, vamos usar o conceito de determinante e analisar se o sistema é dependente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matrizes para facilitar. A matriz dos coeficientes é:
2 & -3 & 0 1 & -1 & 3 -2 & 0 & a
E o vetor dos termos constantes é:
-1 2 b

Passo 3

Para o sistema ser possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, e o sistema deve ser dependente. Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
Determinante = 2 cdot (-1) cdot a + (-3) cdot 3 cdot (-2) + 0 cdot 1 cdot 0 - (0 cdot (-1) cdot (-2) + (-3) cdot 1 cdot 0 + 2 cdot 3 cdot 0)
Simplificando:
Determinante = -2a + 18 + 0 - (0 + 0 + 0) = -2a + 18
Para que o determinante seja zero:
-2a + 18 = 0 implies a = 9

Passo 4

Agora que sabemos que 2x - 3y = -1 x - y + 3z = 2 -2x + 9z = b , vamos verificar as condições para que o sistema seja dependente, ou seja, que as equações sejam múltiplas umas das outras. Substituindo nas equações, temos:
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de .

Passo 5

Da segunda equação:
x - y + 3z = 2 implies x = y - 3z + 2
Substituindo 2(y - 3z + 2) - 3y = -1 2y - 6z + 4 - 3y = -1 - y - 6z + 4 = -1 - y - 6z = -5 y + 6z = 5 implies y = 5 - 6z na primeira equação:
x = (5 - 6z) - 3z + 2 = 7 - 9z
Agora temos em termos de e podemos substituir na expressão para :

Passo 6

Agora, substituímos -2(7 - 9z) + 9z = b -14 + 18z + 9z = b 27z - 14 = b implies z = b + 1427 na terceira equação:
27z - 14 = b para todo z
Para que o sistema seja indeterminado, qualquer valor de 27 = 0 e -14 = b deve satisfazer, então precisamos que a expressão para não restrinja . Isso acontece quando a equação é válida para qualquer , ou seja, quando:
Isso só é possível se o coeficiente de for zero e o termo constante também for zero. Portanto:
Como , não há solução para que satisfaça a equação para qualquer . Portanto, o sistema não é indeterminado para nenhum valor de .

Resposta

Não existem valores de e que tornem o sistema possível e indeterminado. O sistema não possui soluções infinitas para nenhum par de valores e .

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