Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . Os coeficientes das equações envolvem os parâmetros e , que são números reais. A gente precisa descobrir para quais valores de e esse sistema será possível e indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para fazer isso, vamos usar o conceito de determinante e analisar se o sistema é dependente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matrizes para facilitar. A matriz dos coeficientes é:
2 & -3 & 0 1 & -1 & 3 -2 & 0 & a
E o vetor dos termos constantes é:
-1 2 b
Passo 3
Para o sistema ser possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, e o sistema deve ser dependente. Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
Agora que sabemos que 2x - 3y = -1 x - y + 3z = 2 -2x + 9z = b , vamos verificar as condições para que o sistema seja dependente, ou seja, que as equações sejam múltiplas umas das outras. Substituindo nas equações, temos:
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de .
Passo 5
Da segunda equação:
x - y + 3z = 2 implies x = y - 3z + 2
Substituindo 2(y - 3z + 2) - 3y = -1 2y - 6z + 4 - 3y = -1 - y - 6z + 4 = -1 - y - 6z = -5 y + 6z = 5 implies y = 5 - 6z na primeira equação:
x = (5 - 6z) - 3z + 2 = 7 - 9z
Agora temos em termos de e podemos substituir na expressão para :
Passo 6
Agora, substituímos -2(7 - 9z) + 9z = b -14 + 18z + 9z = b 27z - 14 = b implies z = b + 1427 na terceira equação:
27z - 14 = b para todo z
Para que o sistema seja indeterminado, qualquer valor de 27 = 0 e -14 = b deve satisfazer, então precisamos que a expressão para não restrinja . Isso acontece quando a equação é válida para qualquer , ou seja, quando:
Isso só é possível se o coeficiente de for zero e o termo constante também for zero. Portanto:
Como , não há solução para que satisfaça a equação para qualquer . Portanto, o sistema não é indeterminado para nenhum valor de .
Resposta
Não existem valores de e que tornem o sistema possível e indeterminado. O sistema não possui soluções infinitas para nenhum par de valores e .