Considere o sistema , onde .
© Para quais valores de e o sistema é possível e indeterminado? Apresente o conjunto solução do sistema neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . Os coeficientes das equações envolvem os parâmetros e , que são números reais. A gente precisa descobrir para quais valores de e esse sistema será possível e indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para fazer isso, vamos usar o conceito de determinante e analisar se o sistema é dependente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matrizes para facilitar. A matriz dos coeficientes é:
E o vetor dos termos constantes é:

Passo 3

Para o sistema ser possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero, e o sistema deve ser dependente. Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
Simplificando:
Para que o determinante seja zero:

Passo 4

Agora que sabemos que , vamos verificar as condições para que o sistema seja dependente, ou seja, que as equações sejam múltiplas umas das outras. Substituindo nas equações, temos:
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de .

Passo 5

Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora temos em termos de e podemos substituir na expressão para :

Passo 6

Agora, substituímos na terceira equação:
Para que o sistema seja indeterminado, qualquer valor de deve satisfazer, então precisamos que a expressão para não restrinja . Isso acontece quando a equação é válida para qualquer , ou seja, quando:
Isso só é possível se o coeficiente de for zero e o termo constante também for zero. Portanto:
Como , não há solução para que satisfaça a equação para qualquer . Portanto, o sistema não é indeterminado para nenhum valor de .

Resposta

Não existem valores de e que tornem o sistema possível e indeterminado. O sistema não possui soluções infinitas para nenhum par de valores e .

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Verifique
é a solução do sistema homogêneo, associado ao sistema ( ),