Use o processo de escalonamento e as propriedades de determinantes para calcular o determinante da matriz . Explique cada passo através das proprieddes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando o processo de escalonamento e as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos fazer algumas operações nas linhas da matriz para deixá-la mais simples e depois calcular o determinante utilizando as propriedades que aprendemos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o processo de escalonamento nos ajuda a transformar a matriz em uma forma triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita muito o cálculo do determinante, que, para matrizes triangulares, é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 3
Vamos começar com a matriz original:
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna.
Passo 4
Para zerar o elemento na posição (2,1), vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 5
Agora, vamos zerar o elemento na posição (3,1) substituindo a terceira linha pela terceira linha menos 4 vezes a primeira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora está assim:
Passo 6
Agora, vamos olhar para a segunda coluna. Queremos zerar o elemento na posição (3,2). Para isso, podemos trocar a segunda e a terceira linhas, pois isso facilita o escalonamento.
Propriedade utilizada: Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1.
Após a troca, a matriz fica:
Passo 7
Agora, a matriz está em forma triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, calculamos:
Mas lembre-se que trocamos duas linhas, o que multiplicou o determinante por -1. Portanto, devemos ajustar o resultado: