Use o processo de escalonamento e as propriedades de determinantes para calcular o determinante da matriz A=[ccc1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 4 & -2 & -3]. Explique cada passo através das proprieddes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 4 & -2 & -3 usando o processo de escalonamento e as propriedades dos determinantes. Para isso, vamos fazer algumas operações nas linhas da matriz para deixá-la mais simples e depois calcular o determinante utilizando as propriedades que aprendemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o processo de escalonamento nos ajuda a transformar a matriz em uma forma triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita muito o cálculo do determinante, que, para matrizes triangulares, é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar com a matriz original:
A = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 4 & -2 & -3
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna.

Passo 4

Para zerar o elemento L2 = L2 - 2 times L1 na posição (2,1), vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha:
2 - 2 times 1 = 0 4 - 2 times 2 = 0 5 - 2 times 3 = -1
Calculando:
(0, 0, -1)
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento L3 = L3 - 4 times L1 na posição (3,1) substituindo a terceira linha pela terceira linha menos 4 vezes a primeira linha:
4 - 4 times 1 = 0 -2 - 4 times 2 = -10 -3 - 4 times 3 = -15
Calculando:
(0, -10, -15)
Então, a terceira linha fica:
A = 1 & 2 & 3 0 & 0 & -1 0 & -10 & -15
Nossa matriz agora está assim:

Passo 6

Agora, vamos olhar para a segunda coluna. Queremos zerar o elemento na posição (3,2). Para isso, podemos trocar a segunda e a terceira linhas, pois isso facilita o escalonamento.
Propriedade utilizada: Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1.
Após a troca, a matriz fica:
A = 1 & 2 & 3 0 & -10 & -15 0 & 0 & -1

Passo 7

Agora, a matriz está em forma triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, calculamos:
det(A) = 1 times (-10) times (-1) = 10
Mas lembre-se que trocamos duas linhas, o que multiplicou o determinante por -1. Portanto, devemos ajustar o resultado:
det(A) = 10 times (-1) = -10

Resposta

O determinante da matriz é .

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