Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h[n]=u[n+5]-2 u[n]+u[n-4]
(a) Avalie se este sistema é BIBO-estável, causal e se tem memória, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema LTI (Linear e Invariante no Tempo) e nos dá sua resposta ao impulso, que é a função . Nossa missão aqui é avaliar três características desse sistema:
  1. BIBO-estabilidade: Se for BIBO-estável, significa que entradas limitadas resultam em saídas limitadas.
  2. Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas de valores presentes e passados da entrada, ou seja, para todo .
  3. Memória: Se o sistema tem memória, sua saída depende de entradas passadas ou futuras.
Para resolver isso, vamos entender cada parte da função usando a função degrau unitário e aplicar os conceitos necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função degrau unitário u[n] = 1 & se n >= 0 0 & se n < 0 . Ela é definida como:
Agora, vamos analisar cada termo de :
  1. : Esse é um degrau que começa em .
  2. : Um degrau que começa em com ganho de -2.
  3. : Um degrau que começa em .

Passo 3

Vamos esboçar para visualizar:
  • Para : Todos os termos são 0, então .
  • Para : Apenas , então .
  • Para : , , então .
  • Para : , , , então .
Isso nos dá uma ideia clara de como se comporta ao longo do tempo.

Passo 4

Agora, vamos verificar a BIBO-estabilidade. Para um sistema ser BIBO-estável, a soma do valor absoluto de sumn=-infty^infty |h[n]| < infty deve ser finita:
sum |h[n]| = 6 times 1 + 4 times 1 = 10
De que esboçamos:
  • De a : por 6 amostras ( ).
  • De a : por 4 amostras ( ).
Total:
Como 10 é finito, o sistema é BIBO-estável.

Passo 5

Vamos verificar a Causalidade. Um sistema é causal se para todo . Observando :
  • Para :
  • Para : (não zero)
Como não é zero para , o sistema não é causal.

Passo 6

Por fim, vamos analisar a Memória do sistema. Um sistema sem memória é aquele em que a saída depende apenas do valor atual da entrada ( h[n] = u[n+5] - 2u[n] + u[n-4] para ). Observando :
Vemos que é diferente de zero para vários valores de , não apenas para . Portanto, o sistema tem memória.

Resposta

O sistema é BIBO-estável, não é causal e tem memória.

Exercícios relacionados