Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
(a) Avalie se este sistema é BIBO-estável, causal e se tem memória, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema LTI (Linear e Invariante no Tempo) e nos dá sua resposta ao impulso, que é a função
. Nossa missão aqui é avaliar três características desse sistema:
- BIBO-estabilidade: Se for BIBO-estável, significa que entradas limitadas resultam em saídas limitadas.
- Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas de valores presentes e passados da entrada, ou seja,
para todo . - Memória: Se o sistema tem memória, sua saída depende de entradas passadas ou futuras.
Para resolver isso, vamos entender cada parte da função
usando a função degrau unitário
e aplicar os conceitos necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função degrau unitário
. Ela é definida como:
Agora, vamos analisar cada termo de
:
-
: Esse é um degrau que começa em . -
: Um degrau que começa em com ganho de -2. -
: Um degrau que começa em .
Passo 3
Vamos esboçar
para visualizar:
- Para
: Todos os termos são 0, então . - Para
: Apenas , então . - Para
: , , então . - Para
: , , , então .
Isso nos dá uma ideia clara de como
se comporta ao longo do tempo.
Passo 4
Agora, vamos verificar a BIBO-estabilidade. Para um sistema ser BIBO-estável, a soma do valor absoluto de
deve ser finita:
De
que esboçamos:
- De
a : por 6 amostras ( ). - De
a : por 4 amostras ( ).
Total:
Como 10 é finito, o sistema é BIBO-estável.
Passo 5
Vamos verificar a Causalidade. Um sistema é causal se
para todo
. Observando
:
- Para
: - Para
: (não zero)
Como
não é zero para
, o sistema não é causal.
Passo 6
Por fim, vamos analisar a Memória do sistema. Um sistema sem memória é aquele em que a saída depende apenas do valor atual da entrada (
para
). Observando
:
Vemos que
é diferente de zero para vários valores de
, não apenas para
. Portanto, o sistema tem memória.
Resposta
O sistema é BIBO-estável, não é causal e tem memória.