A resposta de um sistema invariante no tempo para uma entrada
é dada por
(b) Determine a expressão analítica da resposta do sistema para o seguinte sinal de entrada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema que não muda com o tempo (invariante no tempo) e já sabemos como ele responde a um pulso bem curtinho, chamado de delta de Dirac, quando esse pulso chega no tempo $ t = 2 $. A gente precisa descobrir como esse sistema responde quando a entrada é um sinal que está ligado entre $ t = 0 $ e $ t = 2 $, e desligado fora desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre convolução e propriedades de sistemas lineares e invariantes no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI), a resposta a qualquer entrada pode ser encontrada usando a convolução entre a entrada $ x(t) $ e a resposta ao impulso $ h(t) $. A convolução basicamente soma todas as respostas do sistema para cada “pedaço” do sinal de entrada.
Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
No nosso caso, a entrada $ x(t) $ é igual a 1 no intervalo de $ 0 \leq t < 2 $ e 0 em outro caso. Então, podemos escrever $ x(t) $ como:
Passo 4
Já sabemos a resposta do sistema para um pulso delta deslocado no tempo. A resposta dada é:
Isso significa que a resposta ao impulso $ h(t) $ do sistema fica localizada entre $ t = 3 $ e $ t = 4 $, e é zero em outros momentos.
Passo 5
Vamos agora aplicar a convolução. Como $ x(t) $ é 1 entre 0 e 2, a resposta do sistema será a soma das respostas deslocadas $ h(t - \tau) $ para $ \tau $ entre 0 e 2.
Ou seja:
Passo 6
Sabemos que $ h(t) $ é zero fora de $ [3, 4) $. Então, para $ h(t - \tau) $ ser diferente de zero, precisamos que $ t - \tau $ esteja entre 3 e 4. Isso implica que $ \tau $ deve estar entre $ t - 4 $ e $ t - 3 $.
Como $ \tau $ está entre 0 e 2, isso restringe os valores de $ t $. Vamos analisar os intervalos:
- Para $ t < 3 $: Não há sobreposição, então $ y(t) = 0 $.
- Para $ 3 \leq t < 4 $: A sobreposição ocorre, e $ \tau $ varia de $ t - 4 $ (que é negativo, mas $ \tau $ começa em 0) até $ t - 3 $.
- Para $ t \geq 4 $: Novamente, não há sobreposição, então $ y(t) = 0 $.
Passo 7
Então, para $ 3 \leq t < 4 $, a integral fica:
Resolvendo a integral:
Resposta
A expressão analítica da resposta do sistema é: