A resposta de um sistema invariante no tempo para uma entrada x(t)=0.5 de é dada por
y(t)=ccc e^-2 t & se & 3 <= t<4 0 & se & t<3 ou t >= 4
(b) Determine a expressão analítica da resposta do sistema para o seguinte sinal de entrada:
x(t)=ccc 1 & se & 0 <= t<2 0 & & caso contrário á

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema que não muda com o tempo (invariante no tempo) e já sabemos como ele responde a um pulso bem curtinho, chamado de delta de Dirac, quando esse pulso chega no tempo $ t = 2 $. A gente precisa descobrir como esse sistema responde quando a entrada é um sinal que está ligado entre $ t = 0 $ e $ t = 2 $, e desligado fora desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre convolução e propriedades de sistemas lineares e invariantes no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI), a resposta a qualquer entrada pode ser encontrada usando a convolução entre a entrada $ x(t) $ e a resposta ao impulso $ h(t) $. A convolução basicamente soma todas as respostas do sistema para cada “pedaço” do sinal de entrada.
Matematicamente, isso é representado por:
x(t)

Passo 3

No nosso caso, a entrada $ x(t) $ é igual a 1 no intervalo de $ 0 \leq t < 2 $ e 0 em outro caso. Então, podemos escrever $ x(t) $ como:
x(t) á

Passo 4

Já sabemos a resposta do sistema para um pulso delta deslocado no tempo. A resposta dada é:
y(t) = e^-2 t & se 3 <= t < 4 0 & se t < 3 ou t >= 4
Isso significa que a resposta ao impulso $ h(t) $ do sistema fica localizada entre $ t = 3 $ e $ t = 4 $, e é zero em outros momentos.

Passo 5

Vamos agora aplicar a convolução. Como $ x(t) $ é 1 entre 0 e 2, a resposta do sistema será a soma das respostas deslocadas $ h(t - \tau) $ para $ \tau $ entre 0 e 2.
Ou seja:
x(t)

Passo 6

Sabemos que $ h(t) $ é zero fora de $ [3, 4) $. Então, para $ h(t - \tau) $ ser diferente de zero, precisamos que $ t - \tau $ esteja entre 3 e 4. Isso implica que $ \tau $ deve estar entre $ t - 4 $ e $ t - 3 $.
Como $ \tau $ está entre 0 e 2, isso restringe os valores de $ t $. Vamos analisar os intervalos:
  1. Para $ t < 3 $: Não há sobreposição, então $ y(t) = 0 $.
  2. Para $ 3 \leq t < 4 $: A sobreposição ocorre, e $ \tau $ varia de $ t - 4 $ (que é negativo, mas $ \tau $ começa em 0) até $ t - 3 $.
  3. Para $ t \geq 4 $: Novamente, não há sobreposição, então $ y(t) = 0 $.

Passo 7

Então, para $ 3 \leq t < 4 $, a integral fica:
3 <= t < 4
Resolvendo a integral:
y(t) = integral0^t - 3 e^-2(t - tau) dtau
y(t) = e^-2t integral0^t - 3 e^2tau dtau = e^-2t [ e^2tau2 ]0^t - 3
y(t) = e^-2t ( e^2(t - 3) - 12 )

Resposta

A expressão analítica da resposta do sistema é:
y(t) = e^-6 - e^-2 t2 & se 3 <= t < 4 0 & caso contrário á

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