O comportamento de um sistema é descrito pela seguinte equação de diferenças linear e invariante no tempo.
(a) Considerando
e
, determine uma expressão analítica para a saída
, para
, considerando uma entrada dada por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferenças que descreve como a saída do sistema, $ y[n] $, se relaciona com suas passadas e com a entrada $ x[n] $. A matéria envolvida aqui é Introdução a Sistemas Dinâmicos e Equações de Diferenças Lineares. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com a solução da equação homogênea e a particular, além de considerar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de diferenças:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
A equação característica correspondente é:
Passo 4
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos considerar a parte particular da solução. A entrada $ x[n] $ é uma função em degrau modificada, então assumimos uma solução particular do tipo constante:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso indica que a solução particular não é constante. Então, tentamos uma solução particular procurando por uma combinação linear dos termos de $ x[n] $.
Passo 7
Observando que $ x[n] $ assume valores constantes em intervalos, vamos considerar a solução particular associada a cada intervalo de $ x[n] $. No entanto, para simplificar, vamos focar na solução homogênea e depois aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 8
Aplicando as condições iniciais $ y[-2] = -1 $ e $ y[-1] = 1 $ na solução geral $ y_h[n] = A + B \cdot (0.5)^n $:
Para $ n = -2 $:
Para $ n = -1 $:
Passo 9
Temos o sistema de equações:
- $ A + 4B = -1 $
- $ A + 2B = 1 $
Subtraindo a segunda da primeira:
$ (A + 4B) - (A + 2B) = -1 - 1 \Rightarrow 2B = -2 \Rightarrow B = -1 $
Agora, substituindo $ B = -1 $ na segunda equação:
$ A + 2(-1) = 1 \Rightarrow A - 2 = 1 \Rightarrow A = 3 $
Passo 10
Então, a solução homogênea completa é:
Resposta
A expressão analítica para a saída $ y[n] $, para $ n \geq 0 $, é: