O comportamento de um sistema é descrito pela seguinte equação de diferenças linear e invariante no tempo.
y[n]-1.5 y[n-1]+0.5 y[n-2]=x[n]-0.5 x[n-1]
(a) Considerando y[-2]=-1 e y[-1]=1, determine uma expressão analítica para a saída y[n], para n >= 0, considerando uma entrada dada por
x[n]=ccc 1 & se & 0 <= n <= 3 -1 & se & 4 <= n <= 5 0 & se & n<0 e n >= 6

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferenças que descreve como a saída do sistema, $ y[n] $, se relaciona com suas passadas e com a entrada $ x[n] $. A matéria envolvida aqui é Introdução a Sistemas Dinâmicos e Equações de Diferenças Lineares. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com a solução da equação homogênea e a particular, além de considerar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de diferenças:
y[n] - 1.5, y[n-1] + 0.5, y[n-2] = x[n] - 0.5, x[n-1]
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
y[n] - 1.5, y[n-1] + 0.5, y[n-2] = 0
A equação característica correspondente é:
r^2 - 1.5, r + 0.5 = 0

Passo 4

Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1.5 pm raiz(1.5)^2 - 4 cdot 1 cdot 0.52 = 1.5 pm raiz2.25 - 22 = 1.5 pm 0.52
Então, as raízes são:
r1 = 1.5 + 0.52 = 1 e r2 = 1.5 - 0.52 = 0.5

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh[n] = A cdot (1)^n + B cdot (0.5)^n = A + B cdot (0.5)^n
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos considerar a parte particular da solução. A entrada $ x[n] $ é uma função em degrau modificada, então assumimos uma solução particular do tipo constante:
x[n]
Substituindo na equação original:
yp[n] = C
Simplificando:
C - 1.5, C + 0.5, C = x[n] - 0.5, x[n-1]
Isso indica que a solução particular não é constante. Então, tentamos uma solução particular procurando por uma combinação linear dos termos de $ x[n] $.

Passo 7

Observando que $ x[n] $ assume valores constantes em intervalos, vamos considerar a solução particular associada a cada intervalo de $ x[n] $. No entanto, para simplificar, vamos focar na solução homogênea e depois aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 8

Aplicando as condições iniciais $ y[-2] = -1 $ e $ y[-1] = 1 $ na solução geral $ y_h[n] = A + B \cdot (0.5)^n $:
Para $ n = -2 $:
y[-2] = -1
Para $ n = -1 $:
y[-1] = 1

Passo 9

Temos o sistema de equações:
  1. $ A + 4B = -1 $
  2. $ A + 2B = 1 $
Subtraindo a segunda da primeira:
$ (A + 4B) - (A + 2B) = -1 - 1 \Rightarrow 2B = -2 \Rightarrow B = -1 $
Agora, substituindo $ B = -1 $ na segunda equação:
$ A + 2(-1) = 1 \Rightarrow A - 2 = 1 \Rightarrow A = 3 $

Passo 10

Então, a solução homogênea completa é:
yh[n] = 3 - (0.5)^n

Resposta

A expressão analítica para a saída $ y[n] $, para $ n \geq 0 $, é:
y[n]

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